Determine, se existirem, os valores máximo e mínimo de
no conjunto
em que
. E se o conjunto for
?
Passo 1
Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a função
Temos a função
e queremos encontrar seus valores máximo e mínimo em dois conjuntos fechados em
:
A) (retângulo).
B) (disco fechado de centro
e raio
).
O método geral é:
. Verificar se existem pontos críticos no interior de
.
. Examinar as fronteiras de
(arestas do retângulo ou círculo) via parametrização ou otimização com restrição.
. Comparar os valores encontrados para determinar o máximo e o mínimo.
A)
B)
O método geral é:
Passo 2
Caso A: retângulo
. No interior não há singularidade nem ponto crítico extra (gradiente nunca zero, e
no retângulo).
. Sobre as arestas:
. Como
e
, o quociente é sempre negativo e, para cada
fixo,
varia de
(quando
) até
(quando
).
. Para achar o valor máximo de
(menos negativo), escolhemos
(denominação em
) e o menor
. Isso dá
Passo 3
Caso A – resposta
máximo de no retângulo:
máximo de
mínimo de
no retângulo:
Passo 4
Caso B: disco
. No interior do disco não há singularidade (a reta
fica fora do disco) nem ponto crítico de
.
. Logo, os extremos ocorrem na fronteira, o círculo
.
. Parametrizamos a fronteira por
Então
Combinando com
, obtém‐se duas soluções:
-
, que dá e -
, que dá
Resposta
Caso A (retângulo
):
máximo em
,
mínimo em
.
máximo
mínimo
Caso B (disco
):
máximo em
,
mínimo em
.
máximo
mínimo