Determine, se existirem, os valores máximo e mínimo de f no conjunto
A=(x, y) mid-1 <= x <= 0,1 <= y <= 2
em que f(x, y)=yx-1. E se o conjunto for A=(x, y) mid(x-3)^2+(y-1)^2 <= 1 ?

Passo 1

Resumo do enunciado e conteúdo
Temos a função
f(x,y)=yx-1
e queremos encontrar seus valores máximo e mínimo em dois conjuntos fechados em R^2:
A) A=(x,y)mid -1<= x<=0,;1<= y<=2 (retângulo).
B) A=(x,y)mid (x-3)^2+(y-1)^2<=1 (disco fechado de centro (3,1) e raio 1).
O método geral é:
1. Verificar se existem pontos críticos no interior de A.
2. Examinar as fronteiras de A (arestas do retângulo ou círculo) via parametrização ou otimização com restrição.
3. Comparar os valores encontrados para determinar o máximo e o mínimo.

Passo 2

Caso A: retângulo -1<= x<=0,;1<= y<=2 1. No interior não há singularidade nem ponto crítico extra (gradiente nunca zero, e xneq1 no retângulo).
2. Sobre as arestas: f(x,y)=y/(x-1). Como y>0 e x-1in[-2,-1], o quociente é sempre negativo e, para cada y fixo, yx-1 varia de y-2=-tfrac y2 (quando x=-1) até y-1=-y (quando x=0).
3. Para achar o valor máximo de f (menos negativo), escolhemos x=-1 (denominação em -2) e o menor y=1. Isso dá
f(-1,1) = 1-2 = -tfrac12
4. Para achar o valor mínimo de f (mais negativo), escolhemos x=0 (denominação em -1) e o maior y=2. Isso dá
f(0,2) = 2-1 = -2

Passo 3

Caso A – resposta
máximo de f no retângulo:
fmax = -tfrac12ocorre em(x,y)=(-1,1)
mínimo de f no retângulo:
fmin = -2ocorre em(x,y)=(0,2)

Passo 4

Caso B: disco (x-3)^2+(y-1)^2<=1 1. No interior do disco não há singularidade (a reta x=1 fica fora do disco) nem ponto crítico de nabla f=0.
2. Logo, os extremos ocorrem na fronteira, o círculo (x-3)^2+(y-1)^2=1.
3. Parametrizamos a fronteira por
x=3+cos t, y=1+sin t, tin[0,2pi]
Então
f(t) = 1+sin t(3+cos t)-1 = 1+sin t2+cos t
4. Derivando em t e igualando a zero, chega‐se à condição
2cos t + sin t + 1 = 0
Combinando com cos^2 t+sin^2 t=1, obtém‐se duas soluções:
  • cos t=0,;sin t=-1, que dá (x,y)=(3,0) e f(3,0)=0;
  • cos t=-tfrac45,;sin t=tfrac35, que dá x=3-tfrac45=tfrac115, y=1+tfrac35=tfrac85, fl(tfrac115,tfrac85r) =tfrac85tfrac115-1 =8/56/5 =43

Resposta

Caso A (retângulo -1<= x<=0,;1<= y<=2):
máximo fmax=-tfrac12 em (-1,1),
mínimo fmin=-2 em (0,2).
Caso B (disco (x-3)^2+(y-1)^2<=1):
máximo fmax=tfrac43 em l(tfrac115,tfrac85r),
mínimo fmin=0 em (3,0).

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