Obtenha a função curvatura k(s) para a hélice gamma(t)=(cos t, sen t, t), t in[0,2 pi].

Passo 1

O enunciado pede a curvatura reparametrizada por comprimento de arco s da hélice
gamma(t) = (cos t,;sin t,;t), tin[0,2pi]
Conteúdo: curvas no espaço e fórmula da curvatura
k(t)=l|gamma'(t)timesgamma''(t)r|l|gamma'(t)r|^3,
além da relação entre s e t:
s(t)=integral0^tl|gamma'(u)r|,du

Passo 2

Calculemos gamma'(t) e gamma''(t):
gamma'(t)=(-sin t,;cos t,;1), gamma''(t)=(-cos t,;-sin t,;0)
Em seguida o produto vetorial
gamma'(t)timesgamma''(t) = i&j&k -sin t&cos t&1 -cos t&-sin t&0 =(sin t,;cos t,;1)
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l|gamma'(t)timesgamma''(t)r| =raizsin^2t+cos^2t+1 =raiz2

Passo 3

Calculemos também o módulo de gamma'(t):
l|gamma'(t)r| =raiz(-sin t)^2+(cos t)^2+1^2 =raiz2
Substituindo na fórmula da curvatura:
k(t) =raiz2(raiz2)^3 =raiz22raiz2 =12
Portanto a curvatura é constante em t:
k(t)=tfrac12forall t

Passo 4

Agora a relação comprimento de arco–parametrização:
s(t)=integral0^tl|gamma'(u)r|,du =integral0^traiz2,du =raiz2,t
Invertendo, t = s/raiz2.

Passo 5

Como k(t) é constante, a reparametrização por s não altera o valor:
k(s)=kl(t(s)r)=tfrac12

Resposta

k(s)=12para todo s

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