Calcule o limite ou mostre que não existe:
.

Passo 1

O enunciado pede a avaliação do limite lateral
limxto5^-e^x(x-5)^3
O conteúdo aqui é análise de limite unilaterial em que o numerador tende a um valor finito e o denominador tende a zero. Para resolver, vamos estudar separadamente o comportamento de e^x e de (x-5)^3 quando x se aproxima de 5 pela esquerda.

Passo 2

Analisando o numerador ,e^x:
Quando xto5^-, a função exponencial é contínua, logo
e^x;longrightarrow;e^5
Isso significa que o numerador tende a uma constante positiva e^5.

Passo 3

Analisando o denominador ,(x-5)^3:
Para x<5, o termo x-5 é negativo, e ao elevar ao cubo mantém o sinal negativo. Além disso, à medida que xto5^-, temos (x-5)to0^-, logo
(x-5)^3;longrightarrow;0^-
Isto é, o denominador tende a zero por valores negativos, tornando-se um número cada vez menor em módulo.

Passo 4

Concluindo o limite da fração:
Como o numerador tende a uma constante positiva e^5 e o denominador tende a zero negativo, o quociente cresce em módulo sem limite, com sinal negativo. Portanto
limxto5^-e^x(x-5)^3 = -infty

Resposta

-infty

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