Calcule o limite ou mostre que não existe:
.

Passo 1

O enunciado pede o limite unilateral
limxto2^+x^2-2x-8x^2-5x+6
O conteúdo é de limites unilaterais em ponto de descontinuidade (denominador nulo), e vamos usar fatoração e análise de sinal para ver se tende a um número finito ou a pminfty.

Passo 2

Fatoramos numerador e denominador:
x^2-2x-8 = (x-4)(x+2),
x^2-5x+6 = (x-2)(x-3)

Passo 3

Substituindo na expressão, obtemos
x^2-2x-8x^2-5x+6 =(x-4)(x+2)(x-2)(x-3)

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de cada fator quando xto2^+:
  • x-4to2-4=-2 (negativo e tende a -2).
  • x+2to2+2=4 (positivo).
  • x-2to0^+ (positivo, mas muito pequeno).
  • x-3to2-3=-1 (negativo).
    Logo o numerador tende a (-2)cdot4=-8 (constante negativo) e o denominador tende a (0^+)cdot(-1)=0^- (zero vindo de negativo).
    Dividindo um número fixo negativo por algo que tende a zero negativo dá um valor que cresce sem limite, ficando positivo e indo para +infty.

Resposta

limxto2^+x^2-2x-8x^2-5x+6=+infty

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