Passo 1
O enunciado pede para estudar a série infinita
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries: teste de p-série para convergência absoluta e teste de Leibniz para séries alternadas.
Passo 2
Usamos a identidade trigonométrica
então a série passa a ser
que é uma série alternada com termos
.
Passo 3
Para verificar convergência absoluta, analisamos
Como o expoente
0,9<1 , pela comparação com a p-série
sum1/n^p sabemos que esse somatório diverge. Logo, a série não converge absolutamente.
Passo 4
Para testar a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Observamos que
-
é positiva e tende a zero quandoan=1/n^0,9 ;ntoinfty -
é monotonicamente decrescente porquean cresce comn^0,9 .n
Portanto, pela convergência de Leibniz, a série
converge.
Passo 5
Concluímos que a série converge condicionalmente (teste de Leibniz) e diverge absolutamente (p-série com
p<1 ).
Resposta
A série converge condicionalmente e não converge absolutamente.