sumn=1^infty cos (n pi)n^0.9

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série infinita
sumn=1^infty cos(npi)n^0,9
O conteúdo aqui é teste de convergência de séries: teste de p-série para convergência absoluta e teste de Leibniz para séries alternadas.

Passo 2

Usamos a identidade trigonométrica
cos(npi)=(-1)^n,
então a série passa a ser
sumn=1^infty (-1)^nn^0,9,
que é uma série alternada com termos an = 1/n^0,9.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, analisamos
sumn=1^infty gl|(-1)^nn^0,9gr| =sumn=1^infty1n^0,9
Como o expoente 0,9<1, pela comparação com a p-série sum1/n^p sabemos que esse somatório diverge. Logo, a série não converge absolutamente.

Passo 4

Para testar a convergência condicional, aplicamos o teste de Leibniz para séries alternadas. Observamos que
  1. an=1/n^0,9 é positiva e tende a zero quando ntoinfty;
  2. an é monotonicamente decrescente porque n^0,9 cresce com n.
    Portanto, pela convergência de Leibniz, a série
sumn=1^infty(-1)^nn^0,9
converge.

Passo 5

Concluímos que a série converge condicionalmente (teste de Leibniz) e diverge absolutamente (p-série com p<1).

Resposta

A série converge condicionalmente e não converge absolutamente.

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