Calcule o limite ou mostre que não existe:
.
Passo 1
O enunciado pede o limite da função racional
quando
. O conteúdo aqui é análise de limite de função racional, que envolve verificar indeterminações e, se necessário, fatorar para estudar o comportamento ao redor do ponto.
Passo 2
Vamos primeiro tentar a substituição direta de
em numerador e denominador:
Como o numerador tende a
e o denominador tende a
, não há indeterminação do tipo
; temos uma forma
, indicando que o valor da função explode para
.
Passo 3
Para determinar o sinal desse “estouro” e checar se os lados esquerdo e direito coincidem, fatoramos numerador e denominador:
Para
podemos simplificar
, obtendo
Passo 4
Agora analisamos o comportamento de
quando
se aproxima de
pelos dois lados:
– Se
, então
é um pequeno número negativo e
, logo
– Se
, então
é um pequeno número positivo e
, logo
Passo 5
Como os limites laterais são diferentes (
pela esquerda e
pela direita), o limite em
não existe no sentido de valor finito nem mesmo no sentido estendido como único infinito.
Resposta
O limite não existe.