Calcule o limite ou mostre que não existe:
.

Passo 1

O enunciado pede o limite da função racional
f(x)=x^2-4xx^2-3x-4
quando xto -1. O conteúdo aqui é análise de limite de função racional, que envolve verificar indeterminações e, se necessário, fatorar para estudar o comportamento ao redor do ponto.

Passo 2

Vamos primeiro tentar a substituição direta de x=-1 em numerador e denominador:
numerador = (-1)^2 -4(-1) = 1 +4 = 5,
denominador = (-1)^2 -3(-1) -4 = 1 +3 -4 = 0
Como o numerador tende a 5neq0 e o denominador tende a 0, não há indeterminação do tipo 0/0; temos uma forma tfrac50, indicando que o valor da função explode para pminfty.

Passo 3

Para determinar o sinal desse “estouro” e checar se os lados esquerdo e direito coincidem, fatoramos numerador e denominador:
x^2-4x = x(x-4),
x^2-3x-4 = (x-4)(x+1)
Para xneq4 podemos simplificar x-4, obtendo
f(x)=x(x-4)(x-4)(x+1) = xx+1

Passo 4

Agora analisamos o comportamento de tfracxx+1 quando x se aproxima de -1 pelos dois lados:
– Se xto -1^-, então x+1 é um pequeno número negativo e xapprox -1, logo
xx+1approx-1negativo pequeno=+infty
– Se xto -1^+, então x+1 é um pequeno número positivo e xapprox -1, logo
xx+1approx-1positivo pequeno=-infty

Passo 5

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela esquerda e -infty pela direita), o limite em xto -1 não existe no sentido de valor finito nem mesmo no sentido estendido como único infinito.

Resposta

O limite não existe.

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