Encontre o quociente e o resto para o que se segue:
(a) (5 x^4+x^2-8 x+2) /(x^2-3 x+1)
(b) (x^5+x^4+3 x^3-x^2-x-3) /(x^2+x+1)
(c) (x^3-3 x^2+8 x-7) /(2 x-5)
(d) (x^6-x^4-8 x^3+x+2) /(x+3)

Passo 1

O enunciado pede o quociente e o resto de quatro divisões de polinômios. Para todas elas vamos usar divisão polinomial longa (ou esquema de Briot-Ruffini quando o divisor for do tipo x - a). A ideia é dividir termo a termo até que o grau do resto seja menor que o grau do divisor.

Passo 2

Para (a) dividimos
5x^4 + x^2 - 8x + 2
pelo divisor
x^2 - 3x + 1
Aplicando a divisão longa obtemos
5x^4 + x^2 - 8x + 2 = (x^2 - 3x + 1),(5x^2 + 15x + 41) + (100x - 39)
Logo o quociente é 5x^2 + 15x + 41 e o resto é 100x - 39.

Passo 3

Para (b) dividimos
x^5 + x^4 + 3x^3 - x^2 - x - 3
pelo divisor
x^2 + x + 1
A divisão longa dá resto zero:
x^5 + x^4 + 3x^3 - x^2 - x - 3 = (x^2 + x + 1),(x^3 + 2x - 3) + 0
Assim o quociente é x^3 + 2x - 3 e o resto é 0.

Passo 4

Para (c) dividimos
x^3 - 3x^2 + 8x - 7
pelo divisor
2x - 5
Fazendo a divisão longa:
x^3 - 3x^2 + 8x - 7 = (2x - 5)l(tfrac12x^2 - tfrac14x + tfrac278r) + tfrac798
Logo o quociente é tfrac12x^2 - tfrac14x + tfrac278 e o resto é tfrac798.

Passo 5

Para (d) dividimos
x^6 - x^4 - 8x^3 + x + 2
pelo divisor
x + 3
Usando Briot-Ruffini em x=-3 ou divisão longa, temos
x^6 - x^4 - 8x^3 + x + 2 = (x + 3),(x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 32x^2 + 96x - 287) + 863
Portanto o quociente é x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 32x^2 + 96x - 287 e o resto é 863.

Resposta

(a) quociente 5x^2 + 15x + 41, resto 100x - 39
(b) quociente x^3 + 2x - 3, resto 0
(c) quociente tfrac12x^2 - tfrac14x + tfrac278, resto tfrac798
(d) quociente x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 32x^2 + 96x - 287, resto 863

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