Soma de fatoriais e logaritmo:
sumn=1^infty n!n^n+sumn=2^infty 1n(ln n)
Determine a convergência da soma.

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Estamos analisando a convergência de uma soma composta por duas séries infinitas:
sumn=1^infty n!n^n+sumn=2^infty 1n(ln n)
Conteúdo da Matéria:
  • Séries infinitas
  • Testes de convergência (como o teste da razão e o teste da integral)
  • Fatoriais e propriedades dos logaritmos
O que Vamos Precisar:
Para resolver este exercício, vamos precisar aplicar testes de convergência apropriados para cada uma das séries envolvidas e entender como funcionam os termos fatoriais e logarítmicos dentro dessas séries.

Passo 2

Analisando a Primeira Série:
Primeiro, vamos verificar se a primeira série converge.
Teste da Razão:
Este teste é útil para séries que envolvem fatoriais. A ideia é comparar o termo geral com .
Calculamos o limite:
Sabemos que:
Portanto:
Como , pela regra do teste da razão, a série converge.

Passo 3

Analisando a Segunda Série: sumn=2^infty 1n(ln n)
Agora, vamos verificar a convergência da segunda série.
Teste da Integral:
Este teste é adequado para séries com termos positivos e decrescentes. Integramos a função correspondente e verificamos a convergência.
Consideramos a integral:
integral2^infty 1x ln x , dx
Fazendo a substituição u = ln x, então du = 1x dx.
A integral se transforma em:
integralln 2^infty 1u , du = limt to infty integralln 2^t 1u , du = limt to infty (ln t - ln ln 2) = infty
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série sumn=2^infty 1n(ln n) também diverge.

Resposta

Como a primeira série sumn=1^infty n!n^n converge e a segunda série sumn=2^infty 1n(ln n) diverge, a soma total das séries também diverge.

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