Soma de fatoriais e logaritmo:
Determine a convergência da soma.
Passo 1
Resumo do Enunciado e Conteúdo Envolvido
Estamos analisando a convergência de uma soma composta por duas séries infinitas:
Conteúdo da Matéria:
- Séries infinitas
- Testes de convergência (como o teste da razão e o teste da integral)
- Fatoriais e propriedades dos logaritmos
O que Vamos Precisar:
Para resolver este exercício, vamos precisar aplicar testes de convergência apropriados para cada uma das séries envolvidas e entender como funcionam os termos fatoriais e logarítmicos dentro dessas séries.
Para resolver este exercício, vamos precisar aplicar testes de convergência apropriados para cada uma das séries envolvidas e entender como funcionam os termos fatoriais e logarítmicos dentro dessas séries.
Passo 2
Analisando a Primeira Série:
Primeiro, vamos verificar se a primeira série converge.
Teste da Razão:
Este teste é útil para séries que envolvem fatoriais. A ideia é comparar o termo geral com
.
Este teste é útil para séries que envolvem fatoriais. A ideia é comparar o termo geral
Calculamos o limite:
Sabemos que:
Portanto:
Como
, pela regra do teste da razão, a série converge.
Passo 3
Analisando a Segunda Série:
Agora, vamos verificar a convergência da segunda série.
Teste da Integral:
Este teste é adequado para séries com termos positivos e decrescentes. Integramos a função correspondente e verificamos a convergência.
Este teste é adequado para séries com termos positivos e decrescentes. Integramos a função correspondente e verificamos a convergência.
Consideramos a integral:
Fazendo a substituição
, então
.
A integral se transforma em:
Como a integral diverge, pelo teste da integral, a série
também diverge.
Resposta
Como a primeira série
converge e a segunda série
diverge, a soma total das séries também diverge.