Soma de uma série geométrica modificada e uma série p:
A soma total converge ou diverge?
Passo 1
O enunciado nos dá a soma de duas séries infinitas:
O conteúdo envolvido é
- convergência de séries geométricas (e suas combinações),
- teste da série
(p-série).
Para resolver, vamos (i) separar a primeira soma em duas séries geométricas e (ii) aplicar o teste da-série na segunda.
Passo 2
Separamos a primeira série em
Cada parte é uma série geométrica com razão
e
, ambas em módulo menores que 1. Logo ambas convergem. (Opcionalmente, elas somam
e
, mas bastou notar
.)
Passo 3
A segunda série é
Trata-se de uma série
com
. Pelo teste da
-série, ela converge.
Passo 4
Como cada uma das duas séries individuais converge, a soma total converge (soma de séries convergentes é convergente).
Resposta
A soma total converge.