Soma de uma série geométrica modificada e uma série p:
sumn=1^infty 2^n+(-1)^n3^n+sumn=1^infty 1n^1.05
A soma total converge ou diverge?

Passo 1

O enunciado nos dá a soma de duas séries infinitas:
sumn=1^infty 2^n+(-1)^n3^n e sumn=1^infty 1n^1.05
O conteúdo envolvido é
  1. convergência de séries geométricas (e suas combinações),
  2. teste da série p (p-série).
    Para resolver, vamos (i) separar a primeira soma em duas séries geométricas e (ii) aplicar o teste da p-série na segunda.

Passo 2

Separamos a primeira série em
sumn=1^infty 2^n3^n ;+; sumn=1^infty (-1)^n3^n
Cada parte é uma série geométrica com razão tfrac23 e -tfrac13, ambas em módulo menores que 1. Logo ambas convergem. (Opcionalmente, elas somam
sum(2/3)^n = tfrac2/31-2/3=2 e
sum(-1/3)^n = tfrac-1/31+1/3=-tfrac14, mas bastou notar |r|<1.)

Passo 3

A segunda série é
sumn=1^infty 1n^1.05
Trata-se de uma série p com p=1.05>1. Pelo teste da p-série, ela converge.

Passo 4

Como cada uma das duas séries individuais converge, a soma total converge (soma de séries convergentes é convergente).

Resposta

A soma total converge.

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