Calcule o limite ou mostre que não existe
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2 y^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}, definida para (x,y) tais que x^{2}+2y^{2}\neq0.
  • A equação x^{2}+2y^{2}=0 só ocorre em (x,y)=(0,0). Logo, a expressão está bem definida em todos os pontos próximos à origem, exceto exatamente na origem — o que é normal quando se calcula limite.
  • A pergunta é: existe um valor L tal que, para todo modo de aproximar (x,y) a (0,0), os valores de f(x,y) tendam a L? Se sim, encontrar L; se não, mostrar que o limite não existe.

Passo 2

Regra útil (explicada como se eu estivesse te dando a dica na prova):
  • Para que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista, o valor de f(x,y) ao aproximar a origem deve ser o mesmo por qualquer caminho.
  • Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos de aproximação para os quais os limites (ao longo desses caminhos) sejam diferentes. Se acharmos dois caminhos com limites distintos, o limite em (0,0) não existe.

Passo 3

Escolhemos o caminho mais simples: linhas que passam pela origem. Isso é feito colocando
y = t x,
onde t é um número fixo (a inclinação da linha). Explico: ao fixar t e fazer x\to0, o par (x,y)=(x,tx) aproxima a origem ao longo da reta de coeficiente angular t. Agora substituímos na expressão:
\frac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} = \frac{2x^{2}+(tx)^{2}}{x^{2}+2(tx)^{2}} = \frac{2x^{2}+t^{2}x^{2}}{x^{2}+2t^{2}x^{2}}.

Passo 4

Fatoramos x^{2} no numerador e no denominador e simplificamos (isso é legítimo enquanto x\neq0, que corresponde à aproximação à origem, não à avaliação no ponto):
\frac{2x^{2}+t^{2}x^{2}}{x^{2}+2t^{2}x^{2}} = \frac{x^{2}(2+t^{2})}{x^{2}(1+2t^{2})} = \frac{2+t^{2}}{1+2t^{2}}.
Importante: o x^{2} cancela, então o valor da expressão ao longo da reta y=tx não depende de x (para x\neq0). Portanto, o limite ao longo dessa reta é simplesmente
\lim_{x\to0} \frac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2y^{2}} \Bigg|_{y=tx} = \frac{2+t^{2}}{1+2t^{2}}.

Passo 5

Agora basta escolher dois valores de t que dêem resultados diferentes para mostrar que o limite total não existe. Dois casos simples:
  • Para t=0 (reta y=0, ou seja, aproximando pela abscissa):
\frac{2+0^{2}}{1+2\cdot0^{2}}=\frac{2}{1}=2.
  • Para t=1 (reta y=x, diagonal):
\frac{2+1^{2}}{1+2\cdot1^{2}}=\frac{3}{3}=1.
Como ao aproximar pela reta y=0 o valor tende a 2 e ao aproximar pela reta y=x o valor tende a 1, os limites por esses dois caminhos são diferentes.

Passo 6

Conclusão lógica: se ao aproximar a origem por dois caminhos obtemos limites distintos, não existe um único valor que seja o limite para todas as formas de aproximação. Portanto o limite pedido não existe.

Resposta

O limite não existe.

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