A função considerada é f(x,y)=\dfrac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}+2y^{2}}, definida para (x,y) tais que x^{2}+2y^{2}\neq0.
A equação x^{2}+2y^{2}=0 só ocorre em (x,y)=(0,0). Logo, a expressão está bem definida em todos os pontos próximos à origem, exceto exatamente na origem — o que é normal quando se calcula limite.
A pergunta é: existe um valor L tal que, para todo modo de aproximar (x,y) a (0,0), os valores de f(x,y) tendam a L? Se sim, encontrar L; se não, mostrar que o limite não existe.
Passo 2
Regra útil (explicada como se eu estivesse te dando a dica na prova):
Para que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) exista, o valor de f(x,y) ao aproximar a origem deve ser o mesmo por qualquer caminho.
Portanto, uma maneira prática de mostrar que o limite NÃO existe é encontrar dois caminhos de aproximação para os quais os limites (ao longo desses caminhos) sejam diferentes. Se acharmos dois caminhos com limites distintos, o limite em (0,0) não existe.
Passo 3
Escolhemos o caminho mais simples: linhas que passam pela origem. Isso é feito colocando
y = t x,
onde t é um número fixo (a inclinação da linha). Explico: ao fixar t e fazer x\to0, o par (x,y)=(x,tx) aproxima a origem ao longo da reta de coeficiente angular t. Agora substituímos na expressão:
Fatoramos x^{2} no numerador e no denominador e simplificamos (isso é legítimo enquanto x\neq0, que corresponde à aproximação à origem, não à avaliação no ponto):
Importante: o x^{2} cancela, então o valor da expressão ao longo da reta y=tx não depende de x (para x\neq0). Portanto, o limite ao longo dessa reta é simplesmente
Agora basta escolher dois valores de t que dêem resultados diferentes para mostrar que o limite total não existe. Dois casos simples:
Para t=0 (reta y=0, ou seja, aproximando pela abscissa):
\frac{2+0^{2}}{1+2\cdot0^{2}}=\frac{2}{1}=2.
Para t=1 (reta y=x, diagonal):
\frac{2+1^{2}}{1+2\cdot1^{2}}=\frac{3}{3}=1.
Como ao aproximar pela reta y=0 o valor tende a 2 e ao aproximar pela reta y=x o valor tende a 1, os limites por esses dois caminhos são diferentes.
Passo 6
Conclusão lógica: se ao aproximar a origem por dois caminhos obtemos limites distintos, não existe um único valor que seja o limite para todas as formas de aproximação. Portanto o limite pedido não existe.