Calcule o limite:
n) (2013-2) \lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{\operatorname{tg} x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to 0^{+}}x^{\tan x}.
Esse tipo de limite envolve uma base que tende a zero e um expoente que também tende a zero, ou seja, é uma forma indeterminada do tipo 0^0. Para resolver, vamos usar transformação por logaritmo natural e conhecer o limite de um produto.

Passo 2

Definimos
L = \lim_{x\to 0^{+}}x^{\tan x}.
Como x^{\tan x}>0, podemos tomar logaritmo natural:
\ln L = \lim_{x\to 0^{+}}\ln\bigl(x^{\tan x}\bigr) =\lim_{x\to 0^{+}}\tan x\;\ln x.

Passo 3

Agora analisamos
\lim_{x\to 0^{+}}\tan x\;\ln x.
Quando x\to 0^{+}, temos \tan x\sim x. Logo
\tan x\;\ln x \sim x\ln x.
E é conhecido que
\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x = 0.
Portanto
\ln L = 0.

Passo 4

Como \ln L = 0, concluímos que
L = e^{0} = 1.

Resposta

1

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