Escolha um problema de otimização com restrição do seu interesse (real ou fictício) e modele-o usando os multiplicadores de Lagrange. Apresente por escrito:
- Função objetivo
- Restrição
- Sistema montado
- Solução
Passo 1
Escolhi um problema clássico: maximizar o volume de uma caixa fechada retangular dada uma área de superfície fixa. Aqui o conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos usar o fato de que no máximo o gradiente da função‐objetivo é paralelo ao gradiente da restrição.
Passo 2
Função objetivo: o volume da caixa
Restrição: a área de superfície total é constante, digamos
, ou seja
Passo 3
Montamos a função de Lagrange
As equações do sistema vêm de anular as derivadas parciais:
Passo 4
Das três primeiras igualdades, por simetria, vemos que no ponto ótimo
. Para confirmar, subtraia duas delas e conclua que
Substituindo na restrição:
e portanto
,
.
Passo 5
O volume máximo é
Resposta
A caixa de dimensões
maximiza o volume, que vale
.