Escolha um problema de otimização com restrição do seu interesse (real ou fictício) e modele-o usando os multiplicadores de Lagrange. Apresente por escrito:
  • Função objetivo
  • Restrição
  • Sistema montado
  • Solução

Passo 1

Escolhi um problema clássico: maximizar o volume de uma caixa fechada retangular dada uma área de superfície fixa. Aqui o conteúdo é multiplicadores de Lagrange, e vamos usar o fato de que no máximo o gradiente da função‐objetivo é paralelo ao gradiente da restrição.

Passo 2

Função objetivo: o volume da caixa
V(x,y,z)=x\,y\,z
Restrição: a área de superfície total é constante, digamos 150, ou seja
2\bigl(xy + xz + yz\bigr)=150.

Passo 3

Montamos a função de Lagrange
\mathcal{L}(x,y,z,\lambda)=x\,y\,z \;-\;\lambda\bigl[2(xy+xz+yz)-150\bigr].
As equações do sistema vêm de anular as derivadas parciais:
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=yz \;-\;2\lambda(y+z)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=xz \;-\;2\lambda(x+z)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial z}=xy \;-\;2\lambda(x+y)=0,
\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=2(xy+xz+yz)-150=0.

Passo 4

Das três primeiras igualdades, por simetria, vemos que no ponto ótimo x=y=z. Para confirmar, subtraia duas delas e conclua que
x=y=z.
Substituindo na restrição:
2\bigl(x^2 + x^2 + x^2\bigr)=150 \quad\Longrightarrow\quad 6x^2=150 \quad\Longrightarrow\quad x^2=25 \quad\Longrightarrow\quad x=5
e portanto y=5, z=5.

Passo 5

O volume máximo é
V_{\max}=5\cdot5\cdot5=125.

Resposta

A caixa de dimensões 5\times5\times5 maximiza o volume, que vale 125.

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