Expresse pelo seu termo geral cada sequência dada abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujos termos são, nessa ordem:
A tarefa é “expressar pelo seu termo geral” essa sequência — ou seja, encontrar uma fórmula em função do índice
que gere exatamente esses termos quando
.
Informações dadas que vamos usar: os termos numéricos listados (os seis primeiros) e a ordem em que aparecem.
A tarefa é “expressar pelo seu termo geral” essa sequência — ou seja, encontrar uma fórmula
Informações dadas que vamos usar: os termos numéricos listados (os seis primeiros) e a ordem em que aparecem.
Passo 2
Observação da parte “módulo” (valores absolutos) dos termos: os valores são
Perceba que os denominadores são os números pares em ordem crescente:
. Uma forma simples de escrever isso em função do índice
(começando em
) é
, porque para
obtemos
, para
obtemos
, e assim por diante. Portanto, a parte positiva (o módulo) do
-ésimo termo é
Explicação didática: aqui definimos
como o número do termo (primeiro termo
, segundo
, etc.). A função
gera a sequência dos denominadores pares.
Passo 3
Agora observação do sinal dos termos: a sequência tem sinais alternados
é par},\[4pt] -1, & se
é ímpar. \end{cases}]
Exemplos rápidos para fixar:
,
,
,
.]
Passo 4
Precisamos escolher o expoente de
em função de
para que o sinal seja positivo quando
for ímpar e negativo quando
for par. Duas escolhas óbvias e equivalentes são
ou
. Vou mostrar por que
funciona: para
(termo 1) temos
(positivo); para
temos
(negativo). Assim
reproduz o padrão
.
Passo 5
Agora juntamos sinal e módulo. A parte com sinal é
e a parte do módulo é
. Multiplicando-os obtemos a fórmula proposta para o termo geral:
Explicação das variáveis:
é o
-ésimo termo da sequência;
é um inteiro positivo. A fórmula dá o valor de
para cada
.
Passo 6
Verificação rápida dos primeiros termos (para você conferir na prova sem erro):
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Esses valores coincidem com os termos dados, então a fórmula está correta.
Passo 7
Observação de formas equivalentes e casos de indexação diferente:
- Uma forma equivalente é
(porque ). - Se, por acaso, a sua prova indexar a sequência a partir de
(primeiro termo com ), uma fórmula conveniente seria . Fique atento a qual índice o enunciado usa.
Passo 8
Exemplo rápido para praticar: qual é o
-º termo? Use
na fórmula:
Assim você treina aplicar a fórmula na hora da prova.