Expresse pelo seu termo geral cada sequência dada abaixo:
1 / 2,-1 / 4,1 / 6,-1 / 8,1 / 10,-1 / 12

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujos termos são, nessa ordem: 1/2,\\\ -1/4,\\\ 1/6,\\\ -1/8,\\\ 1/10,\\\ -1/12,\\ \dots
A tarefa é “expressar pelo seu termo geral” essa sequência — ou seja, encontrar uma fórmula a_n em função do índice n que gere exatamente esses termos quando n=1,2,3,\dots.
Informações dadas que vamos usar: os termos numéricos listados (os seis primeiros) e a ordem em que aparecem.

Passo 2

Observação da parte “módulo” (valores absolutos) dos termos: os valores são
\frac{1}{2},\\ \frac{1}{4},\\ \frac{1}{6},\\ \frac{1}{8},\\ \frac{1}{10},\\ \frac{1}{12},\dots
Perceba que os denominadores são os números pares em ordem crescente: 2,4,6,8,10,12,\dots. Uma forma simples de escrever isso em função do índice n (começando em n=1) é 2n, porque para n=1 obtemos 2\cdot1=2, para n=2 obtemos 2\cdot2=4, e assim por diante. Portanto, a parte positiva (o módulo) do n-ésimo termo é
\frac{1}{2n}.
Explicação didática: aqui definimos n como o número do termo (primeiro termo n=1, segundo n=2, etc.). A função 2n gera a sequência dos denominadores pares.

Passo 3

Agora observação do sinal dos termos: a sequência tem sinais alternados +,-,+,-,+,-,\dots\) (ou seja, sinal positivo nos termos ímpares e negativo nos termos pares). Para representar sinais alternados usamos potências de \(-1\), porque \[(-1)^k = \begin{cases} +1, & \text{se \(k é par},\[4pt] -1, & se k é ímpar. \end{cases}]
Exemplos rápidos para fixar: (-1)^0 = 1, (-1)^1 = -1, (-1)^2 = 1, (-1)^3 = -1.]

Passo 4

Precisamos escolher o expoente de (-1) em função de n para que o sinal seja positivo quando n for ímpar e negativo quando n for par. Duas escolhas óbvias e equivalentes são n+1 ou n-1. Vou mostrar por que n+1 funciona: para n=1 (termo 1) temos (-1)^{1+1}=(-1)^2=+1 (positivo); para n=2 temos (-1)^{2+1}=(-1)^3=-1 (negativo). Assim (-1)^{n+1} reproduz o padrão +,-,+,-,\dots.

Passo 5

Agora juntamos sinal e módulo. A parte com sinal é (-1)^{n+1} e a parte do módulo é 1/(2n). Multiplicando-os obtemos a fórmula proposta para o termo geral:
a_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2n},\qquad n=1,2,3,\dots
Explicação das variáveis: a_n é o n-ésimo termo da sequência; n é um inteiro positivo. A fórmula dá o valor de a_n para cada n.

Passo 6

Verificação rápida dos primeiros termos (para você conferir na prova sem erro):
  • Para n=1: \displaystyle a_1=\frac{(-1)^{1+1}}{2\cdot1}=\frac{1}{2}.
  • Para n=2: \displaystyle a_2=\frac{(-1)^{2+1}}{2\cdot2}=-\frac{1}{4}.
  • Para n=3: \displaystyle a_3=\frac{(-1)^{3+1}}{2\cdot3}=\frac{1}{6}.
    Esses valores coincidem com os termos dados, então a fórmula está correta.

Passo 7

Observação de formas equivalentes e casos de indexação diferente:
  • Uma forma equivalente é \displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n-1}}{2n} (porque (-1)^{n-1}=(-1)^{n+1}).
  • Se, por acaso, a sua prova indexar a sequência a partir de n=0 (primeiro termo com n=0), uma fórmula conveniente seria \displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{2(n+1)}. Fique atento a qual índice o enunciado usa.

Passo 8

Exemplo rápido para praticar: qual é o 7-º termo? Use n=7 na fórmula:
a_7=\frac{(-1)^{7+1}}{2\cdot7}=\frac{1}{14}.
Assim você treina aplicar a fórmula na hora da prova.

Resposta

\displaystyle a_n=\frac{(-1)^{n+1}}{2n},\quad n=1,2,3,\dots

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