Calcule o limite das seguintes sequências;
n^{1 / n}

Passo 1

O problema dá a sequência a_{n} = n^{1/n} e pede o seu limite quando n \to \infty.
Informações relevantes: a sequência é definida para n\in\mathbb{N}, n\ge 1. Queremos calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} n^{1/n}.

Passo 2

Ideia principal (sem resolver ainda): exponenciais com expoente pequeno são mais fáceis de analisar se tomarmos logaritmo. Vou transformar a sequência com log natural para reduzir a potência a um produto/razão, calcular o limite dessa transformação e depois voltar aplicando a função exp. Essa é uma técnica padrão: se a_n>0 e b_n=\ln a_n tem limite L, então a_n = e^{b_n} tende a e^{L}. Vou usar isso aqui.

Passo 3

Defino a nova sequência b_{n} como o logaritmo de a_{n}:
b_{n} = \ln(a_{n}) = \ln\bigl(n^{1/n}\bigr).
Usando a propriedade dos logaritmos \ln(x^{\alpha})=\alpha\ln x, obtemos
b_{n} = \frac{\ln n}{n}.
Agora o problema reduz-se a calcular \displaystyle\lim_{n\to\infty} b_{n} = \lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n}.

Passo 4

Para avaliar \displaystyle\lim_{n\to\infty} \frac{\ln n}{n} uso a passagem para variável real: considere a função f(x)=\dfrac{\ln x}{x} definida para x>0. O limite \displaystyle\lim_{x\to\infty} f(x) coincide com o limite da sequência b_n, pois b_n=f(n).
Note que quando x\to\infty temos forma \dfrac{\infty}{\infty}, então posso aplicar o L’Hôpital: calculo as derivadas do numerador e do denominador.
A derivada do numerador \ln x é \dfrac{1}{x}. A derivada do denominador x é 1. Portanto, por L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = \lim_{x\to\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x\to\infty} \frac{1}{x}.

Passo 5

Sabemos que \displaystyle\lim_{x\to\infty} \frac{1}{x} = 0. Então concluímos
\lim_{x\to\infty} \frac{\ln x}{x} = 0.
Como b_{n}= \dfrac{\ln n}{n} = f(n), isso implica
\lim_{n\to\infty} b_{n} = 0.

Passo 6

Voltando à sequência original: a_{n} = n^{1/n} = e^{b_{n}}. A função exponencial e^{x} é contínua, logo podemos trocar o limite com a exponencial:
\lim_{n\to\infty} a_{n} = \lim_{n\to\infty} e^{b_{n}} = e^{\lim_{n\to\infty} b_{n}} = e^{0} = 1.
Intuição numérica rápida (pra você sentir): 2^{1/2}\approx1{,}414, 10^{1/10}\approx1{,}259, 100^{1/100}\approx1{,}047 — vai ficando cada vez mais perto de 1.

Resposta

1

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