Calcule o limite das seguintes sequências;
Passo 1
O problema dá a sequência
e pede o seu limite quando
.
Informações relevantes: a sequência é definida para ,
. Queremos calcular
.
Informações relevantes: a sequência é definida para
Passo 2
Ideia principal (sem resolver ainda): exponenciais com expoente pequeno são mais fáceis de analisar se tomarmos logaritmo. Vou transformar a sequência com log natural para reduzir a potência a um produto/razão, calcular o limite dessa transformação e depois voltar aplicando a função exp. Essa é uma técnica padrão: se
e
tem limite
, então
tende a
. Vou usar isso aqui.
Passo 3
Defino a nova sequência
como o logaritmo de
:
Usando a propriedade dos logaritmos
, obtemos
Agora o problema reduz-se a calcular
Passo 4
Para avaliar
uso a passagem para variável real: considere a função
definida para
. O limite
coincide com o limite da sequência
, pois
.
Note que quando temos forma
, então posso aplicar o L’Hôpital: calculo as derivadas do numerador e do denominador.
A derivada do numerador é
. A derivada do denominador
é
. Portanto, por L’Hôpital,
Note que quando
A derivada do numerador
Passo 5
Sabemos que
. Então concluímos
Como
, isso implica
Passo 6
Voltando à sequência original:
. A função exponencial
é contínua, logo podemos trocar o limite com a exponencial:
Intuição numérica rápida (pra você sentir):
,
,
— vai ficando cada vez mais perto de
.