onde s é uma variável complexa (na prática para problemas de EDO usamos s real e suficientemente grande). Vou chamar
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s),
ou seja, Y(s) é a transformada de Laplace da solução y(t) que queremos achar.
Passo 3
Precisamos de propriedades básicas da transformada que vamos usar. A propriedade mais importante aqui é a da transformada da derivada. Para uma função y(t) suficientemente razoável (de ordem exponencial), tem-se
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Uma rápida demonstração (para você ver de onde vem): calcule
para \Re(s)>0. A condição inicial dada é y(0)=0. Substituindo na equação do Passo 4:
(sY(s)-0)-Y(s)=\frac{1}{s}.
Ou seja,
(s-1)Y(s)=\frac{1}{s}.
Passo 6
Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}.
Agora precisamos inverter a transformada, então convém decompor Y(s) em frações parciais para reconhecer transformadas conhecidas.
Passo 7
Fazemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1) obtemos
1 = A(s-1)+Bs = (A+B)s - A.
Comparando coeficientes em s e termo constante:
coeficiente de s: A+B=0.
termo constante: -A=1.
Da segunda equação vem A=-1. Substituindo em A+B=0 temos B=1.
Portanto
Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s-1}.
Passo 8
Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Usamos as transformadas básicas: