Use a transformada de Laplace para resolver as EDO’s abaixo:
y^{\prime}-y=1, y(0)=0;

Passo 1

O enunciado pede que a gente resolva a equação diferencial ordinária com condição inicial
y'(t)-y(t)=1,\qquad y(0)=0.
Informações dadas:
\text{EDO: }y'(t)-y(t)=1.
\text{Condição inicial: }y(0)=0.çã
A tarefa é encontrar a função y(t) que satisfaz a EDO e a condição inicial, usando a transformada de Laplace. Nada mais será assumido por enquanto.

Passo 2

Vamos definir a transformada de Laplace e a notação que usaremos. Para uma função f(t) definida em t\ge 0, a transformada de Laplace é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática para problemas de EDO usamos s real e suficientemente grande). Vou chamar
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}(s),
ou seja, Y(s) é a transformada de Laplace da solução y(t) que queremos achar.

Passo 3

Precisamos de propriedades básicas da transformada que vamos usar. A propriedade mais importante aqui é a da transformada da derivada. Para uma função y(t) suficientemente razoável (de ordem exponencial), tem-se
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=sY(s)-y(0).
Uma rápida demonstração (para você ver de onde vem): calcule
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt.
Fazendo integração por partes com u=e^{-st} e dv=y'(t)\,dt du=-s e^{-st}\,dt e v=y(t). Então
\int_{0}^{\infty} e^{-st}y'(t)\,dt = e^{-st}y(t)\Big|_{0}^{\infty} + s\int_{0}^{\infty} e^{-st}y(t)\,dt.
Supondo que e^{-st}y(t)\to 0 quando t\to\infty (condição padrão), o termo no infinito some, e sobra
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s) = -y(0) + sY(s),
ou seja, a fórmula acima.

Passo 4

Agora aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da EDO original. Aplicando \mathcal{L}\{\cdot\} em
y'(t)-y(t)=1
obtemos
\mathcal{L}\{y'(t)\}(s) - \mathcal{L}\{y(t)\}(s) = \mathcal{L}\{1\}(s).
Usando as notações e propriedades:
\big(sY(s)-y(0)\big) - Y(s) = \mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 5

Calcule a transformada do lado direito e use a condição inicial. A transformada de \,1 é
\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 1\,dt=\frac{1}{s},
para \Re(s)>0. A condição inicial dada é y(0)=0. Substituindo na equação do Passo 4:
(sY(s)-0)-Y(s)=\frac{1}{s}.
Ou seja,
(s-1)Y(s)=\frac{1}{s}.

Passo 6

Isolamos Y(s):
Y(s)=\frac{1}{s(s-1)}.
Agora precisamos inverter a transformada, então convém decompor Y(s) em frações parciais para reconhecer transformadas conhecidas.

Passo 7

Fazemos a decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{s(s-1)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s-1}.
Multiplicando ambos os lados por s(s-1) obtemos
1 = A(s-1)+Bs = (A+B)s - A.
Comparando coeficientes em s e termo constante:
coeficiente de s: A+B=0.
termo constante: -A=1.
Da segunda equação vem A=-1. Substituindo em A+B=0 temos B=1.
Portanto
Y(s) = -\frac{1}{s} + \frac{1}{s-1}.

Passo 8

Agora aplicamos a transformada inversa termo a termo. Usamos as transformadas básicas:
\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,
\mathcal{L}\{e^{at}\}(s)=\frac{1}{s-a}\quad\Rightarrow\quad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at}.
No nosso caso, com a=1,
\mathcal{L}^{-1}\left\{-\frac{1}{s}\right\}=-1, \qquad \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{s-1}\right\}=e^{t}.
Somando os termos obtemos a solução no domínio do tempo:
y(t) = -1 + e^{t}.

Passo 9

Verificação rápida (sempre bom checar): calcule y'(t)=e^{t}. Então
y'(t)-y(t)=e^{t} - (e^{t}-1)=1,
e y(0)=-1+1=0. Portanto a solução satisfaz a EDO e a condição inicial. Bom trabalho — você aguentou a laplaceada!

Resposta

y(t)=-1+e^{t}

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