Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício onde precisamos calcular o limite da sequência
. Para isso, vamos usar conhecimentos de sequências e funções trigonométricas, especialmente sobre o cosseno. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Sabemos que o cosseno de um múltiplo de
(pi) vai oscilar entre 1 e -1 dependendo de
. Isso porque:
- Se
for par, . - Se
for ímpar, .
Passo 3
Agora, vamos ver como isso afeta a sequência
:
- Para
par: . - Para
ímpar: .
Passo 4
Então, a sequência
alterna entre 2 e 0 conforme
aumenta. Isso significa que não se aproxima de nenhum valor específico; em vez disso, continua pulando entre esses dois números.
Resposta
O limite da sequência não existe, pois
alterna entre 2 e 0 indefinidamente.