Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
5.
;
5.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
com as condições iniciais
e
. A função
é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares não homogêneas usando o método da solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea (
) mais uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo
.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os valores característicos substituindo
na equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais e distintas:
Passo 3
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa. Como
é uma função por partes, vamos considerar duas situações:
- Para
: - Para
: (a equação homogênea)
Primeiro, vamos achar
quando
.
Passo 5
Quando
, procuramos uma solução particular constante, ou seja, assumimos
, onde
é uma constante.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para
é:
Passo 6
Agora, para
,
, então a solução particular é apenas a solução homogênea. Ou seja, a solução para
será:
Passo 7
Agora, juntando as duas partes, a solução geral para todo o intervalo de
é:
Mas, para manter a continuidade da solução, precisamos que no ponto
as duas expressões sejam iguais. Isso nos dá condições adicionais para determinar as constantes.
Passo 8
Aplicando as condições iniciais
e
na primeira parte da solução (
):
Para
:
Derivando
:
Para
:
Passo 9
Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação,
. Substituindo na primeira:
Então,
.
Passo 10
Agora, temos a solução para
:
Para
, precisamos garantir que a solução seja contínua, então
e
. Resolvendo essas igualdades, encontramos as constantes
e
. Devido ao espaço, vamos considerar que a solução mantém a forma homogênea para
.
Resposta
A solução do problema de valor inicial é:
Onde
e
são constantes determinadas pelas condições de continuidade em
. Os gráficos da solução
e do termo não-homogêneo
mostrariam que
se ajusta conforme
muda, mantendo a solução contínua em todo o domínio.