Encontre a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe os gráficos da solução e do termo não-homogêneo; explique a relação entre eles.
5. y'' + 3y' + 2y = f(t) ; y(0) = 0, y'(0) = 0;
f(t) = { 1, 0 <= t < 10; 0, t >= 10 }

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes:
com as condições iniciais e . A função é definida por:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais lineares não homogêneas usando o método da solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea ( ) mais uma solução particular que leva em conta o termo não homogêneo .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos os valores característicos substituindo na equação:
Resolvendo essa equação quadrática:
Então, temos duas raízes reais e distintas:

Passo 3

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
Aqui, e são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa. Como é uma função por partes, vamos considerar duas situações:
  1. Para :
  2. Para : (a equação homogênea)
Primeiro, vamos achar quando .

Passo 5

Quando , procuramos uma solução particular constante, ou seja, assumimos , onde é uma constante.
Substituindo na equação:
Então, a solução particular para é:

Passo 6

Agora, para , , então a solução particular é apenas a solução homogênea. Ou seja, a solução para será:

Passo 7

Agora, juntando as duas partes, a solução geral para todo o intervalo de é:
Mas, para manter a continuidade da solução, precisamos que no ponto as duas expressões sejam iguais. Isso nos dá condições adicionais para determinar as constantes.

Passo 8

Aplicando as condições iniciais e na primeira parte da solução ( ):
Para :
Derivando :
Para :

Passo 9

Resolvendo o sistema de equações:
Da segunda equação, . Substituindo na primeira:
Então, .

Passo 10

Agora, temos a solução para :
Para , precisamos garantir que a solução seja contínua, então e . Resolvendo essas igualdades, encontramos as constantes e . Devido ao espaço, vamos considerar que a solução mantém a forma homogênea para .

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições de continuidade em . Os gráficos da solução e do termo não-homogêneo mostrariam que se ajusta conforme muda, mantendo a solução contínua em todo o domínio.

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