Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
e) r(t) = (2t, cos(t), sen(t)) ; P0(2pi, -1, 0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor binormal da curva definida por no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os vetores tangente, normal e binormal de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de que corresponde ao ponto . Olhando para a componente da função , temos . Então, .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função em relação a . Essas derivadas nos ajudarão a determinar os vetores tangente e normal .
Calculando a primeira derivada:
Em :
Calculando a segunda derivada:
Em :

Passo 4

Agora, vamos calcular o vetor binormal , que é definido pelo produto vetorial dos vetores tangente e normal :
Mas primeiro, precisamos normalizar para obter .
Norma de :
Então, o vetor tangente:

Passo 5

Para encontrar o vetor normal , usamos a fórmula:
No nosso caso:
Então:

Passo 6

Agora, calculamos o vetor binormal usando o produto vetorial de e :
Calculando o produto vetorial:

Resposta

O vetor binormal da curva no ponto é:

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