Determinar o vetor binormal das seguintes curvas, nos pontos indicados:
e)
.
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor binormal da curva definida por no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente os vetores tangente, normal e binormal de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
que corresponde ao ponto
. Olhando para a componente
da função
, temos
. Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar as derivadas primeira e segunda da função
em relação a
. Essas derivadas nos ajudarão a determinar os vetores tangente
e normal
.
Calculando a primeira derivada:
Em
:
Calculando a segunda derivada:
Em
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o vetor binormal
, que é definido pelo produto vetorial dos vetores tangente
e normal
:
Mas primeiro, precisamos normalizar
para obter
.
Norma de
:
Então, o vetor tangente:
Passo 5
Para encontrar o vetor normal
, usamos a fórmula:
No nosso caso:
Então:
Passo 6
Agora, calculamos o vetor binormal usando o produto vetorial de
e
:
Calculando o produto vetorial:
Resposta
O vetor binormal da curva no ponto
é: