Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
a_n = tan(2n pi / (5 + 8n))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite da sequência quando tende ao infinito. Estamos lidando com limites de sequências e funções trigonométricas, especialmente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como as frações e as funções trigonométricas se comportam quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da tangente: . Observa que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com , então podemos dividir cada termo por para facilitar a análise:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando tende ao infinito. Quando cresce muito, se aproxima de zero. Então, a expressão fica:
Portanto, o argumento da tangente está se aproximando de quando vai para o infinito.

Passo 4

Sabemos que , porque a tangente de é 1. Então, se o argumento da tangente está se aproximando de , o valor da sequência está se aproximando de 1.

Resposta

O limite da sequência é 1.

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