Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular o limite da sequência
quando
tende ao infinito. Estamos lidando com limites de sequências e funções trigonométricas, especialmente a tangente. Para resolver isso, vamos precisar entender como as frações e as funções trigonométricas se comportam quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da tangente:
. Observa que tanto o numerador quanto o denominador têm termos com
, então podemos dividir cada termo por
para facilitar a análise:
Passo 3
Agora, vamos ver o que acontece quando
tende ao infinito. Quando
cresce muito,
se aproxima de zero. Então, a expressão fica:
Portanto, o argumento da tangente está se aproximando de
quando
vai para o infinito.
Passo 4
Sabemos que
, porque a tangente de
é 1. Então, se o argumento da tangente está se aproximando de
, o valor da sequência
está se aproximando de 1.
Resposta
O limite da sequência é 1.