Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta pede para calcular o limite da sequência
. Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências, onde queremos saber para onde a sequência está “indo” conforme
cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada termo da sequência se comporta quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da fórmula que está meio confusa:
.
-
Entendendo
: - Quando
é par, . - Quando
é ímpar, . - Então, essa parte da sequência está alternando entre 1 e -1 conforme
aumenta.
- Quando
-
Dividindo por
: - Conforme
fica maior, e ficam cada vez menores, se aproximando de 0. - Isso porque quanto maior o denominador, menor o valor da fração.
- Conforme
-
Combinando tudo:
- Então,
está oscilando entre valores positivos e negativos, mas com a amplitude diminuindo à medida que cresce. - Na verdade,
porque a fração fica cada vez menor, indiferente do sinal.
- Então,
-
Agora, somando com 7:
- A sequência completa é
. - Já vimos que
vai para 0, então a sequência está se aproximando de 7.
- A sequência completa é
Resposta
O limite da sequência é 7.