Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
a_n = 7 + ((-1)^n / n)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para calcular o limite da sequência . Isso está relacionado ao estudo de limites de sequências, onde queremos saber para onde a sequência está “indo” conforme cresce cada vez mais. Para resolver isso, vamos precisar entender como cada termo da sequência se comporta quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na parte da fórmula que está meio confusa: .
  1. Entendendo :
    • Quando é par, .
    • Quando é ímpar, .
    • Então, essa parte da sequência está alternando entre 1 e -1 conforme aumenta.
  2. Dividindo por :
    • Conforme fica maior, e ficam cada vez menores, se aproximando de 0.
    • Isso porque quanto maior o denominador, menor o valor da fração.
  3. Combinando tudo:
    • Então, está oscilando entre valores positivos e negativos, mas com a amplitude diminuindo à medida que cresce.
    • Na verdade, porque a fração fica cada vez menor, indiferente do sinal.
  4. Agora, somando com 7:
    • A sequência completa é .
    • Já vimos que vai para 0, então a sequência está se aproximando de 7.

Resposta

O limite da sequência é 7.

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