Use os critérios vistos em sala para determinar se as séries a seguir são convergentes ou divergentes.
sumn=1^infty cos (pin)

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: precisamos descobrir se a série sumn=1^infty cos (pin) é convergente ou divergente. Para isso, vamos usar critérios de convergência de séries, especificamente o Teste do Termo Geral.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do termo geral da série, que é cos (pin). Precisamos calcular o limite desse termo quando n tende ao infinito.
Sabemos que à medida que n aumenta, pin se aproxima de zero. Então,
limn to infty cos (pin) = cos(0) = 1

Passo 3

De acordo com o Teste do Termo Geral, se o limite do termo geral de uma série não for zero, a série não pode ser convergente; na verdade, ela é necessariamente divergente. Esse teste é simples e muito útil para determinar a divergência de uma série.

Passo 4

Como vimos que:
limn to infty cos (pin) = 1 neq 0
Isso significa que o termo geral não tende a zero. Portanto, pela regra do Teste do Termo Geral, a série não converge.

Resposta

A série sumn=1^infty cos (pin) é divergente.

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