Determinar a torção em um ponto qualquer da curva:
a)
a)
Passo 1
Beleza, então temos uma curva definida pelas equações paramétricas:
A gente precisa determinar a torção em um ponto qualquer dessa curva. Torção é uma medida de como a curva está “girando” no espaço, ou seja, como ela sai do plano determinado pelo seu direcionamento no espaço. Para calcular isso, vamos precisar usar derivadas das funções paramétricas e algumas fórmulas de cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a derivada primeira de cada uma das funções paramétricas em relação a
. Isso nos dá o vetor velocidade da curva:
Então, o vetor velocidade é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada segunda das funções paramétricas:
Então, o vetor aceleração é:
Passo 4
A próxima etapa é calcular o produto vetorial entre
e
:
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
Sabemos que , então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial:
Simplificando:
Passo 6
Vamos também precisar da norma do vetor velocidade elevado ao cubo:
Então:
Passo 7
Finalmente, a torção
é dada pela fórmula:
Porém, uma forma mais simples quando temos os vetores já calculados é:
Mas, para este exercício, usando a definição de torção em termos de derivadas:
Substituindo os valores que calculamos:
Resposta
A torção em qualquer ponto da curva é
.