Determinar a torção em um ponto qualquer da curva:
a) x = 1 + 2 cos(t), y = -2t, z = 2 + 2 sen(t)

Passo 1

Beleza, então temos uma curva definida pelas equações paramétricas:
A gente precisa determinar a torção em um ponto qualquer dessa curva. Torção é uma medida de como a curva está “girando” no espaço, ou seja, como ela sai do plano determinado pelo seu direcionamento no espaço. Para calcular isso, vamos precisar usar derivadas das funções paramétricas e algumas fórmulas de cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a derivada primeira de cada uma das funções paramétricas em relação a . Isso nos dá o vetor velocidade da curva:
Então, o vetor velocidade é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada segunda das funções paramétricas:
Então, o vetor aceleração é:

Passo 4

A próxima etapa é calcular o produto vetorial entre e :
Calculando o determinante:
Simplificando:
Então:
Sabemos que , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a norma desse produto vetorial:
Simplificando:

Passo 6

Vamos também precisar da norma do vetor velocidade elevado ao cubo:
Então:

Passo 7

Finalmente, a torção é dada pela fórmula:
Porém, uma forma mais simples quando temos os vetores já calculados é:
Mas, para este exercício, usando a definição de torção em termos de derivadas:
Substituindo os valores que calculamos:

Resposta

A torção em qualquer ponto da curva é .

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