Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
a_n = n^2 e^(-n)

Passo 1

Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o limite da sequência ou explicar por que ele não existe. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam-se as funções polinomiais (como ) e as funções exponenciais (como ) quando cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da sequência quando fica muito grande:
  • : Isso é um termo polinomial, e à medida que aumenta, também aumenta, ficando cada vez maior.
  • : Aqui temos uma função exponencial negativa. Isso significa que, conforme cresce, se torna muito pequeno, tendendo a zero.
Então, nossa sequência é o produto de um termo que cresce sem limites ( ) e outro que diminui para zero ( ). O desafio aqui é determinar qual dessas duas tendências “vence” na hora de calcular o limite.

Passo 3

Para calcular o limite de quando tende ao infinito, podemos reescrever a expressão de uma forma que facilite o uso da Regra de L’Hôpital. Vamos fazer isso:
Agora, nosso objetivo é calcular:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, formando uma expressão do tipo , que é uma indeterminação. A Regra de L’Hôpital nos ajuda a resolver esse tipo de limite diferenciando o numerador e o denominador até que a indeterminação desapareça.
Primeira aplicação da Regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador com relação a :
Ainda temos uma forma , então aplicamos a regra de novo.
Segunda aplicação da Regra de L’Hôpital:
Derivando novamente:
Agora, o denominador cresce extremamente rápido, fazendo com que todo o quociente tenda a zero.

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 0.

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