Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
Passo 1
Fala aí! Vamos resolver esse exercício juntos. A gente precisa calcular o limite da sequência
ou explicar por que ele não existe. Esse tipo de problema está relacionado ao estudo de limites de sequências, que é uma parte importante do cálculo. Para resolver isso, vamos precisar entender como comportam-se as funções polinomiais (como
) e as funções exponenciais (como
) quando
cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com cada parte da sequência quando
fica muito grande:
-
: Isso é um termo polinomial, e à medida que aumenta, também aumenta, ficando cada vez maior. -
: Aqui temos uma função exponencial negativa. Isso significa que, conforme cresce, se torna muito pequeno, tendendo a zero.
Então, nossa sequência é o produto de um termo que cresce sem limites (
) e outro que diminui para zero (
). O desafio aqui é determinar qual dessas duas tendências “vence” na hora de calcular o limite.
Passo 3
Para calcular o limite de
quando
tende ao infinito, podemos reescrever a expressão de uma forma que facilite o uso da Regra de L’Hôpital. Vamos fazer isso:
Agora, nosso objetivo é calcular:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador tendem a infinito, formando uma expressão do tipo
, que é uma indeterminação. A Regra de L’Hôpital nos ajuda a resolver esse tipo de limite diferenciando o numerador e o denominador até que a indeterminação desapareça.
Primeira aplicação da Regra de L’Hôpital:
Derivamos o numerador e o denominador com relação a
:
Ainda temos uma forma
, então aplicamos a regra de novo.
Segunda aplicação da Regra de L’Hôpital:
Derivando novamente:
Agora, o denominador
cresce extremamente rápido, fazendo com que todo o quociente tenda a zero.
Resposta
O limite da sequência
quando
tende ao infinito é 0.