Suponha que a quantidade demandada por semana por um certo vestido é relacionada ao preço unitário
pela equação de demanda
, onde
é dado em reais e
é o número de vestidos fabricados. Quantos vestidos devem ser feitos por semana para maximizar a receita? (Sugestão:
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre demanda e receita de venda de vestidos. A equação que relaciona o preço unitário
com o número de vestidos produzidos
é
. A gente precisa descobrir quantos vestidos fazer por semana para que a receita seja a maior possível. Para isso, vamos usar o conceito de receita
.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar a função receita usando a equação dada. Sabemos que
, e como
, substituímos:
Passo 3
Agora, para encontrar o valor de
que maximiza a receita, precisamos derivar a função receita em relação a
e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Usamos a regra do produto para derivar
:
Simplificando:
Passo 5
Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Passo 6
Resolvendo para
:
Como não podemos produzir uma fração de vestido, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Portanto,
vestidos.
Resposta
Para maximizar a receita, devem ser produzidos aproximadamente 533 vestidos por semana.