Suponha que a quantidade demandada por semana por um certo vestido é relacionada ao preço unitário p pela equação de demanda p = raiz(800 - x), onde p é dado em reais e x é o número de vestidos fabricados. Quantos vestidos devem ser feitos por semana para maximizar a receita? (Sugestão: R(x) = p x )

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema sobre demanda e receita de venda de vestidos. A equação que relaciona o preço unitário com o número de vestidos produzidos é . A gente precisa descobrir quantos vestidos fazer por semana para que a receita seja a maior possível. Para isso, vamos usar o conceito de receita .

Passo 2

Primeiro, vamos expressar a função receita usando a equação dada. Sabemos que , e como , substituímos:

Passo 3

Agora, para encontrar o valor de que maximiza a receita, precisamos derivar a função receita em relação a e encontrar onde essa derivada é igual a zero. Isso porque os pontos onde a derivada é zero são candidatos a máximos ou mínimos.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra do produto para derivar :
Simplificando:

Passo 5

Vamos igualar a derivada a zero para encontrar o ponto crítico:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 6

Resolvendo para :
Como não podemos produzir uma fração de vestido, arredondamos para o número inteiro mais próximo. Portanto, vestidos.

Resposta

Para maximizar a receita, devem ser produzidos aproximadamente 533 vestidos por semana.

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