Determinar o círculo de curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados, repre-sentando-os geometricamente:
d) y = 2*x^2 - 1, no seu vértice.

Passo 1

Beleza, vamos começar! A questão pede para determinar o círculo de curvatura da curva no seu vértice. Isso envolve entender como a curva se comporta naquele ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para encontrar a curvatura da curva no vértice e, a partir daí, determinar o círculo que melhor “aproxima” a curva nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola . O vértice de uma parábola na forma ocorre no ponto , onde e . No nosso caso, , , então:
Portanto, o vértice está no ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de em relação a para determinar a curvatura da curva no vértice.
Primeira derivada:
Segunda derivada:

Passo 4

A curvatura de uma curva no ponto dado pode ser calculada usando a fórmula:
No vértice , substituímos :
Então,

Passo 5

Agora que temos a curvatura , podemos encontrar o raio de curvatura , que é o inverso da curvatura:

Passo 6

O círculo de curvatura tem seu centro de curvatura localizado a uma distância na direção da normal à curva no ponto considerado. Para encontrar a direção da normal, precisamos da inclinação da normal no vértice.
A inclinação da tangente é dada por no vértice, o que significa que a tangente é horizontal. Portanto, a normal é vertical. Como a segunda derivada é positiva, a curva está “virada para cima”, então o centro de curvatura estará acima do vértice.
Então, a coordenada do centro de curvatura é:

Passo 7

Finalmente, podemos escrever a equação do círculo de curvatura usando o centro e o raio :

Resposta

O círculo de curvatura da curva no seu vértice é dado pela equação:

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