Determinar o círculo de curvatura das seguintes curvas, nos pontos indicados, repre-sentando-os geometricamente:
d)
, no seu vértice.
d)
Passo 1
Beleza, vamos começar! A questão pede para determinar o círculo de curvatura da curva
no seu vértice. Isso envolve entender como a curva se comporta naquele ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, para encontrar a curvatura da curva no vértice e, a partir daí, determinar o círculo que melhor “aproxima” a curva nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o vértice da parábola
. O vértice de uma parábola na forma
ocorre no ponto
, onde
e
. No nosso caso,
,
, então:
Portanto, o vértice está no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas de
em relação a
para determinar a curvatura da curva no vértice.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 4
A curvatura
de uma curva no ponto dado pode ser calculada usando a fórmula:
No vértice
, substituímos
:
Então,
Passo 5
Agora que temos a curvatura
, podemos encontrar o raio de curvatura
, que é o inverso da curvatura:
Passo 6
O círculo de curvatura tem seu centro de curvatura localizado a uma distância
na direção da normal à curva no ponto considerado. Para encontrar a direção da normal, precisamos da inclinação da normal no vértice.
A inclinação da tangente é dada por
no vértice, o que significa que a tangente é horizontal. Portanto, a normal é vertical. Como a segunda derivada
é positiva, a curva está “virada para cima”, então o centro de curvatura estará acima do vértice.
Então, a coordenada do centro de curvatura é:
Passo 7
Finalmente, podemos escrever a equação do círculo de curvatura usando o centro
e o raio
:
Resposta
O círculo de curvatura da curva
no seu vértice
é dado pela equação: