Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
an = sen(n) / n^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência . Isso está dentro do conteúdo de limites de sequências, e para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e como os termos com potências de afetam o limite quando fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, , sempre está limitada entre -1 e 1 para qualquer valor de . Ou seja, temos:
Isso é importante porque, independentemente do valor de , o numerador da nossa fração nunca vai passar de 1 em módulo.

Passo 3

Agora, olhamos para o denominador, que é . Conforme cresce, cresce muito rapidamente. Então, estamos dividindo algo que está sempre entre -1 e 1 por um número que fica cada vez maior.

Passo 4

Vamos colocar isso numa desigualdade para visualizar melhor:
Sabemos que tanto quanto tendem a 0 quando vai para o infinito.

Passo 5

Como a nossa sequência está sempre entre duas expressões que vão para 0, pelo teorema do sanduíche (ou teorema da compressão), podemos concluir que o limite da sequência também vai para 0.

Resposta

O limite da sequência é 0.

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