Calcule o limite das seguintes sequências ou justifique por que eles não existem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência
. Isso está dentro do conteúdo de limites de sequências, e para isso, vamos precisar entender como o seno se comporta e como os termos com potências de
afetam o limite quando
fica muito grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função seno,
, sempre está limitada entre -1 e 1 para qualquer valor de
. Ou seja, temos:
Isso é importante porque, independentemente do valor de
, o numerador da nossa fração nunca vai passar de 1 em módulo.
Passo 3
Agora, olhamos para o denominador, que é
. Conforme
cresce,
cresce muito rapidamente. Então, estamos dividindo algo que está sempre entre -1 e 1 por um número que fica cada vez maior.
Passo 4
Vamos colocar isso numa desigualdade para visualizar melhor:
Sabemos que tanto
quanto
tendem a 0 quando
vai para o infinito.
Passo 5
Como a nossa sequência
está sempre entre duas expressões que vão para 0, pelo teorema do sanduíche (ou teorema da compressão), podemos concluir que o limite da sequência também vai para 0.
Resposta
O limite da sequência
é 0.