Convergência: a integral \int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt converge absolutamente se a parte real de a for positiva, isto é, se \Re(a)>0. Como a=s-1, isso equivale a
\Re(s)>1.
Então o resultado valerá para \Re(s)>1. Agora vamos calcular a integral explícita.
Passo 4
Vamos calcular
I=\int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt
por integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes: se u e v são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos primeiro u=\cos t e dv=e^{-at}dt. Então du=-\sin t\,dt e v=-\dfrac{1}{a}e^{-at} (assumindo a\neq0). Aplicando: