Use a definição para calcular mathcal{L}{f(t)}} onde
f(t)=e^{t} \cos t;

Passo 1

Enunciado e dados: precisamos calcular \mathcal{L}\{f(t)\} usando a definição, onde
f(t)=e^{t}\cos t.
Pergunta: encontrar a transformada de Laplace \mathcal{L}\{e^{t}\cos t\} e indicar para quais valores de s a integral converge.

Passo 2

Recordando a definição (aqui só estou dizendo a definição que a questão pediu para usar):
\mathcal{L}\{f(t)\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
Aplicando essa definição a f(t)=e^{t}\cos t obtemos a integral
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{t}\cos t\,dt.
Juntando os expoentes, escrevemos o integrando de forma mais simples. Defina
a = s-1,
então a integral fica
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt.

Passo 3

Convergência: a integral \int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt converge absolutamente se a parte real de a for positiva, isto é, se \Re(a)>0. Como a=s-1, isso equivale a
\Re(s)>1.
Então o resultado valerá para \Re(s)>1. Agora vamos calcular a integral explícita.

Passo 4

Vamos calcular
I=\int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt
por integração por partes. Lembrete rápido da fórmula de integração por partes: se u e v são funções diferenciáveis, então
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Escolhemos primeiro u=\cos t e dv=e^{-at}dt. Então du=-\sin t\,dt e v=-\dfrac{1}{a}e^{-at} (assumindo a\neq0). Aplicando:
I=\left.-\frac{1}{a}e^{-at}\cos t\right|_{0}^{\infty}-\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-at}\sin t\,dt.
Denotando
J=\int_{0}^{\infty} e^{-at}\sin t\,dt,
temos
I=\left.-\frac{1}{a}e^{-at}\cos t\right|_{0}^{\infty}-\frac{1}{a}J.

Passo 5

Avalie o termo de fronteira em I: para \Re(a)>0 temos e^{-at}\to0 quando t\to\infty, e em t=0 temos \cos 0=1 e e^{-a\cdot0}=1. Assim
\left.-\frac{1}{a}e^{-at}\cos t\right|_{0}^{\infty}=0-\left(-\frac{1}{a}\cdot 1\right)=\frac{1}{a}.
Logo
I=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}J.

Passo 6

Agora calcule J por integração por partes também. Tome u=\sin t e dv=e^{-at}dt. Então du=\cos t\,dt e v=-\dfrac{1}{a}e^{-at}. Aplicando:
J=\left.-\frac{1}{a}e^{-at}\sin t\right|_{0}^{\infty}+\frac{1}{a}\int_{0}^{\infty} e^{-at}\cos t\,dt.
O termo de fronteira aqui é zero (porque \sin 0=0 e e^{-at}\to0 no infinito), portanto
J=0+\frac{1}{a}I=\frac{1}{a}I.

Passo 7

Voltando à equação obtida para I:
I=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}J=\frac{1}{a}-\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}I.
Isolando I:
I+\frac{1}{a^{2}}I=\frac{1}{a}\quad\Rightarrow\quad I\left(1+\frac{1}{a^{2}}\right)=\frac{1}{a}.
Logo
I=\frac{\dfrac{1}{a}}{1+\dfrac{1}{a^{2}}}=\frac{\dfrac{1}{a}}{\dfrac{a^{2}+1}{a^{2}}}=\frac{a}{a^{2}+1}.

Passo 8

Substituindo a=s-1 de volta, obtemos
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1},
válido para \Re(s)>1. Podemos, se preferir, expandir o denominador:
(s-1)^{2}+1 = s^{2}-2s+2,
portanto também podemos escrever
\mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\frac{s-1}{s^{2}-2s+2},\quad \Re(s)>1.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{t}\cos t\}=\frac{s-1}{(s-1)^{2}+1}, válido para \Re(s)>1.

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