Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resulto da Questão anterior.)
an=arctan (n)1+n

Passo 1

Beleza, a gente tem uma sequência definida por an = arctan(n)1 + n e precisa calcular o limite dela quando n vai para o infinito. O conteúdo aqui envolve limites de sequências e propriedades das funções. Vamos precisar entender como arctan(n) e 1 + n se comportam quando n fica muito grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função arctan. A função arctan(x) é o arco cuja tangente é x . Quando x cresce sem limite, arctan(x) se aproxima de pi2 . Então, podemos dizer que:
limn to infty arctan(n) = pi2

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa sequência, que é 1 + n . Quando n tende ao infinito, 1 + n também tende ao infinito, obviamente. Então:
limn to infty (1 + n) = infty

Passo 4

Agora, colocamos tudo junto na sequência:
an = arctan(n)1 + n
Sabemos que arctan(n) se aproxima de pi2 e 1 + n vai para o infinito. Então, temos um número finito dividido por algo que cresce sem limite, o que significa que a fração inteira vai para zero.

Resposta

limn to infty arctan(n)1 + n = 0

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