Calcule o limite das seguintes sequências, utilizando o resultado da questão anterior sempre que possível. (Dica: Utilize o resulto da Questão anterior.)
an=sin ^2(n^2)n^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o limite da sequência an = sin^2(n^2)n^2 . Aqui, estamos lidando com os conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas, especialmente o seno. Para resolver, vamos precisar usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Sandwich).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o valor do seno de qualquer número está sempre entre -1 e 1. Ou seja:
-1 <= sin(n^2) <= 1

Passo 3

Como estamos lidando com o seno ao quadrado, podemos elevar todos os termos ao quadrado, o que mantém a desigualdade:
0 <= sin^2(n^2) <= 1

Passo 4

Agora, vamos dividir todos os lados da desigualdade por n^2 , que é positivo para todo n maior que zero:
0 <= sin^2(n^2)n^2 <= 1n^2

Passo 5

A gente sabe que, conforme n cresce para o infinito, 1n^2 se aproxima de 0. Então, aplicando o Teorema do Confronto, já que sin^2(n^2)n^2 está “entre” 0 e algo que vai pra 0, o limite também será 0.

Resposta

limn to infty sin^2(n^2)n^2 = 0

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