Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
an=(n!)^2(2 n)!

Passo 1

Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a sequência an = (n!)^2(2n)! e precisamos verificar se ela converge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar técnicas algébricas, como dividir pelo termo de maior grau.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa fatoriais. O fatorial de um número n , representado por n! , é o produto de todos os números inteiros positivos até n . Por exemplo, 5! = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120 .

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão da sequência para facilitar a análise:
an = (n!)^2(2n)! = n! times n!(2n)!
Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre os termos.

Passo 4

Para simplificar, vamos expandir (2n)! . Sabemos que:
(2n)! = (2n) times (2n - 1) times (2n - 2) times dots times (n + 1) times n!
Então, podemos reescrever an da seguinte forma:
an = n! times n!(2n) times (2n - 1) times dots times (n + 1) times n! = n!(2n) times (2n - 1) times dots times (n + 1)

Passo 5

Observando a expressão simplificada, percebemos que no denominador temos uma multiplicação de n termos maiores que n . Cada termo no denominador é pelo menos n + 1 .

Passo 6

Podemos comparar cada termo no denominador com n :
(2n) times (2n - 1) times dots times (n + 1) > n^n
Portanto:
an = n!(2n) times (2n - 1) times dots times (n + 1) < n!n^n

Passo 7

Sabemos que n!n^n tende a zero quando n tende ao infinito, porque n^n cresce muito mais rápido que n! .

Passo 8

Como an é menor que algo que tende a zero, podemos concluir que:
limn to infty an = 0

Resposta

A sequência an = (n!)^2(2n)! é convergente e seu limite é zero.

Exercícios relacionados