Verifique se as sequências a seguir são convergentes e, em caso afirmativo, determine o seu limite. (Dica: Use técnicas algébricas, como divisão pelo termo de maior grau ou fator dominante.)
Passo 1
Beleza, vamos analisar o enunciado: temos a sequência
e precisamos verificar se ela converge. Se convergir, também vamos encontrar o limite. Para isso, vamos usar técnicas algébricas, como dividir pelo termo de maior grau.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa fatoriais. O fatorial de um número
, representado por
, é o produto de todos os números inteiros positivos até
. Por exemplo,
.
Passo 3
Agora, vamos reescrever a expressão da sequência para facilitar a análise:
Isso nos ajuda a visualizar melhor a relação entre os termos.
Passo 4
Para simplificar, vamos expandir
. Sabemos que:
Então, podemos reescrever
da seguinte forma:
Passo 5
Observando a expressão simplificada, percebemos que no denominador temos uma multiplicação de
termos maiores que
. Cada termo no denominador é pelo menos
.
Passo 6
Podemos comparar cada termo no denominador com
:
Portanto:
Passo 7
Sabemos que
tende a zero quando
tende ao infinito, porque
cresce muito mais rápido que
.
Passo 8
Como
é menor que algo que tende a zero, podemos concluir que:
Resposta
A sequência
é convergente e seu limite é zero.