Calcule o limite a seguir:
lim x 2 x^3-x^2-4 x+4x^3-3 x-2

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 2x^3-x^2-4x+4x^3-3x-2
O conteúdo aqui é cálculo de limite de forma indeterminada 00 e vamos precisar usar fatoração de polinômios para simplificar.

Passo 2

Verificamos que, ao substituir x=2, tanto o numerador quanto o denominador se anulam:
2^3-2^2-4cdot2+4=8-4-8+4=0,
2^3-3cdot2-2=8-6-2=0
Portanto é a forma indeterminada tfrac00 e precisamos fatorar.

Passo 3

Fatoramos o numerador por agrupamento:
x^3-x^2-4x+4 = x^2(x-1)-4(x-1) = (x^2-4)(x-1) = (x-2)(x+2)(x-1)
O denominador tem raiz x=2, então dividimos:
x^3-3x-2 = (x-2)(x^2+2x+1) = (x-2)(x+1)^2

Passo 4

Cancelamos o fator comum (x-2) (válido para xneq2) e obtemos a função simplificada
x^3-x^2-4x+4x^3-3x-2 = (x-2)(x+2)(x-1)(x-2)(x+1)^2 = (x+2)(x-1)(x+1)^2

Passo 5

Como agora não há mais indeterminação, avaliamos o limite por substituição direta x=2:
limxto2(x+2)(x-1)(x+1)^2 = (2+2)(2-1)(2+1)^2 = 4cdot13^2 = 49

Resposta

49

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