Determine o valor de a in R tal que
lim x 0 1-cos (6 x)a x^2=6

Passo 1

O enunciado pede o valor de ainR tal que
limxto01-cos(6x)a,x^2=6
Isso é um problema de cálculo de limite envolvendo a expansão de Maclaurin (ou limite fundamental) para a função cosseno.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=6x. Quando xto0, também uto0, e podemos reescrever
1-cos(6x)=1-cos(u)
Então o limite fica
limxto01-cos(6x)a,x^2 =limuto01-cos(u)a,(u/6)^2 =limuto01-cos(u)a,u^236

Passo 3

Sabemos o limite fundamental
limuto01-cos(u)u^2=12
Substituindo na expressão anterior,
limuto01-cos(u)a,u^236 =36a,limuto01-cos(u)u^2 =36acdot12=18a

Passo 4

Portanto o limite em função de a é
limxto01-cos(6x)a,x^2=18a
Queremos que isso seja igual a 6.

Passo 5

Impondo 18a=6, obtemos
a=186=3

Resposta

3

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