Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem duas equações:
-
– que representa um círculo no plano XY. -
– que é um plano no espaço tridimensional.
Além disso, foi dado um ponto
e precisamos encontrar
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica de otimização para encontrar extremos de funções sujeitas a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o método dos multiplicadores de Lagrange. Ele nos ajuda a encontrar os pontos onde uma função atinge seu máximo ou mínimo sob certas restrições. No nosso caso, parece que precisamos encontrar um valor de
que satisfaça as condições dadas pelas equações.
Passo 3
Vamos definir as restrições do nosso problema. Temos duas equações:
Essas restrições vão ser usadas para encontrar o ponto
que satisfaz ambas as equações.
Passo 4
Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é combinar as restrições com a função que queremos otimizar usando multiplicadores
. Nesse caso, assumimos que estamos procurando um ponto onde as derivadas das funções restritivas são proporcionais.
Passo 5
Vamos estabelecer as condições de Lagrange. As derivadas parciais da função objetivo devem ser iguais a
vezes as derivadas das restrições. Isso nos dá um sistema de equações que podemos resolver para encontrar
.
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações que envolve as derivadas das restrições e a condição de proporcionalidade, encontramos o valor de
.
Resposta
Após resolver as equações usando o método dos multiplicadores de Lagrange, encontramos que
.