Considere a função f: R--2,2 R definida por:
f(x)=|x^2-x-2|x^2-4
Calcule todos os limites laterais de f em torno dos pontos -2 e 2 , que não pertencem ao domínio de f.

Passo 1

O enunciado pede os limites laterais de f em torno de -2 e 2, onde a função
fcolon Rsetminus-2,2toR, f(x)=lvert x^2 - x - 2rvertx^2 - 4
não está definida em x=-2 e x=2. Vamos fatorar numerador e denominador e estudar o sinal de cada fator em cada região.

Passo 2

Fatorando, temos
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1), x^2 - 4 = (x-2)(x+2),
de modo que
f(x) = llvert (x-2)(x+1)rrvert(x-2)(x+2)

Passo 3

Região perto de -2. Para x próximo de -2, nota-se que x-2<0 e x+1<0, logo (x-2)(x+1)>0 e
llvert(x-2)(x+1)rrvert = (x-2)(x+1)
Assim podemos cancelar o fator x-2 (que não é zero) e obter
f(x)=x+1x+2
Basta agora analisar o sinal de x+2 ao nos aproximarmos de -2.

Passo 4

Para xto -2^- temos x+2to0^- e x+1to-1, então
limxto-2^-f(x) =limxto-2^-x+1x+2 =-10^- =+infty
Para xto -2^+ temos x+2to0^+ e x+1to-1, logo
limxto-2^+f(x) =-10^+ =-infty

Passo 5

Região perto de 2. Para x próximo de 2, temos x+1>0 e x+2>0, mas x-2 muda de sinal. Usamos
llvert(x-2)(x+1)rrvert =|x-2|,(x+1),
então
f(x) =|x-2|,(x+1)(x-2)(x+2) =x+1x+2,|x-2|x-2 =x+1x+2,sgn(x-2)
Em x=2, x+1to3 e x+2to4.

Passo 6

Para xto2^- temos sgn(x-2)=-1, então
limxto2^-f(x) =34cdot(-1) =-34
Para xto2^+ temos sgn(x-2)=+1, logo
limxto2^+f(x) =34cdot(+1) =34

Resposta

limxto-2^-f(x)=+infty
limxto-2^+f(x)=-infty
limxto2^-f(x)=-tfrac34
limxto2^+f(x)=tfrac34

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