Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota horizontal, se houver:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2 x-5}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2x-5}
e identificar a assíntota horizontal, se houver. As informações dadas são apenas a expressão racional com uma raiz no numerador e que x tende a -\infty.

Passo 2

Boa notícia: para limites quando x\to\pm\infty a ideia é comparar os termos dominantes (os de maior potência de x). Antes de fazer isso mecanicamente, vamos entender um detalhe importante sobre \sqrt{x^2+1}.
Explique comigo: para todo x vale |x|=\sqrt{x^2}. Portanto podemos escrever
\sqrt{x^2+1}=|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}.
Aqui eu separei |x| porque isso mostra claramente o comportamento quando x é grande (em módulo). Observe que |x| é igual a x se x\ge 0 e igual a -x se x<0. Como estamos mandando x para -\infty, neste limite x é negativo, então usaremos a igualdade |x|=-x.

Passo 3

Substituímos a forma acima na expressão original, lembrando que x<0 implica |x|=-x. Assim
\frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2x-5} =\frac{|x|\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2x-5} =\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2x-5}.
Agora fatoramos x no denominador para facilitar o cancelamento:
2x-5 = x\left(2-\frac{5}{x}\right).
Então a expressão fica
\frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{x\left(2-\frac{5}{x}\right)} =\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2-\frac{5}{x}}.
Note que aqui cancelamos o fator x (válido porque estamos considerando x\neq 0, e no infinito não há problema).

Passo 4

Agora avaliamos o limite usando propriedades básicas de limites e a continuidade das funções envolvidas. Quando x\to -\infty temos \frac{1}{x^2}\to 0 e \frac{5}{x}\to 0. Portanto
\lim_{x\to -\infty}\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}=\sqrt{1+0}=1
e
\lim_{x\to -\infty}\left(2-\frac{5}{x}\right)=2-0=2.
Substituindo esses limites na forma simplificada:
\lim_{x\to -\infty}\frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{2-\frac{5}{x}} =\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}.
Pronto: o limite existe e é -\tfrac{1}{2}.

Passo 5

O que isso diz sobre a assíntota horizontal? A definição prática: se \lim_{x\to -\infty} f(x)=L (com L finito), então a reta y=L é uma assíntota horizontal ao gráfico de f pela esquerda. Aqui obtivemos L=-\tfrac{1}{2}, logo a reta y=-\tfrac{1}{2} é uma assíntota horizontal quando x\to -\infty. (Observação extra: o comportamento para x\to +\infty seria diferente — se você quiser eu mostro — mas não era pedido.)

Resposta

\displaystyle -\frac{1}{2}
Assíntota horizontal: \displaystyle y=-\frac{1}{2} (para x\to -\infty)

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