Calcule o limite a seguir. Identifique a assíntota horizontal, se houver:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o limite
e identificar a assíntota horizontal, se houver. As informações dadas são apenas a expressão racional com uma raiz no numerador e que
tende a
.
Passo 2
Boa notícia: para limites quando
a ideia é comparar os termos dominantes (os de maior potência de
). Antes de fazer isso mecanicamente, vamos entender um detalhe importante sobre
.
Explique comigo: para todo
vale
. Portanto podemos escrever
Aqui eu separei
porque isso mostra claramente o comportamento quando
é grande (em módulo). Observe que
é igual a
se
e igual a
se
. Como estamos mandando
para
, neste limite
é negativo, então usaremos a igualdade
.
Passo 3
Substituímos a forma acima na expressão original, lembrando que
implica
. Assim
Agora fatoramos
no denominador para facilitar o cancelamento:
Então a expressão fica
Note que aqui cancelamos o fator
(válido porque estamos considerando
, e no infinito não há problema).
Passo 4
Agora avaliamos o limite usando propriedades básicas de limites e a continuidade das funções envolvidas. Quando
temos
e
. Portanto
e
Substituindo esses limites na forma simplificada:
Pronto: o limite existe e é
.
Passo 5
O que isso diz sobre a assíntota horizontal? A definição prática: se
(com
finito), então a reta
é uma assíntota horizontal ao gráfico de
pela esquerda. Aqui obtivemos
, logo a reta
é uma assíntota horizontal quando
. (Observação extra: o comportamento para
seria diferente — se você quiser eu mostro — mas não era pedido.)
Resposta
Assíntota horizontal: