Calcule o limite da sequência an.
an=(1+43 n)^5 n

Passo 1

Nesse exercício a gente tem a sequência definida por an=l(1+tfrac43nr)^5n. O conteúdo é limite de sequência exponencial, e vamos precisar da definição do número e como limmtoinftyl(1+tfracxmr)^m=e^x.

Passo 2

Para começar a resolver, é mais fácil trabalhar com o logaritmo natural. A gente define L=limntoinftyan e olha primeiro ln an:

Passo 3

ln an = 5n,lnl(1+tfrac43nr)

Passo 4

Como ntoinfty, o termo u=tfrac43n fica pequenininho, e a gente usa a expansão ln(1+u)approx u quando uto0. Assim

Passo 5

ln an approx 5ncdot tfrac43n = tfrac203

Passo 6

Isso mostra que limntoinftyln an = tfrac203. Como o logaritmo tende a 20/3, a própria sequência tende a e^20/3.

Resposta

e^tfrac203

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