Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim:
com a condição inicial
. Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias e vamos precisar usar uma substituição especial para simplificar e encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para destacar o termo não linear:
No nosso caso,
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma EDO de Bernoulli, usamos a substituição
. Aqui,
, então:
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Isso vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de
.
Passo 5
Substituindo
da equação original na expressão de
:
Substituindo na derivada de
:
Então, a equação fica:
Passo 6
Agora, temos uma equação linear de primeira ordem:
onde
e
.
Vamos achar o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
A parte esquerda agora é a derivada do produto
:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Fazendo a substituição
,
:
Então:
Passo 9
Dividindo ambos os lados por
:
Lembrando que
:
Passo 10
Resolvendo para
:
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da EDO é: