Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
y^prime+x y=x y^2, y(0)=14

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim: y' + x y = x y^2 com a condição inicial y(0) = 14 . Esse tipo de equação faz parte do estudo das Equações Diferenciais Ordinárias e vamos precisar usar uma substituição especial para simplificar e encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para destacar o termo não linear:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
No nosso caso, P(x) = x , Q(x) = x e n = 2 .

Passo 3

Para resolver uma EDO de Bernoulli, usamos a substituição z = y^1 - n . Aqui, n = 2 , então:
z = y^1 - 2 = y^-1 = 1y

Passo 4

Agora, vamos derivar z em relação a x :
z' = -y^-2 y' = -y'y^2
Isso vai nos ajudar a transformar a equação original em uma equação linear em termos de z .

Passo 5

Substituindo y' da equação original na expressão de z' :
y' = x y^2 - x y
Substituindo na derivada de z :
z' = -x y^2 - x yy^2 = -x + x 1y = -x + x z
Então, a equação fica:
z' + x z = -x

Passo 6

Agora, temos uma equação linear de primeira ordem:
z' + P(x) z = Q(x)
onde P(x) = x e Q(x) = -x .
Vamos achar o fator integrante mu(x) :
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral x dx = e^x^22

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por mu(x) :
e^x^22 z' + x e^x^22 z = -x e^x^22
A parte esquerda agora é a derivada do produto mu(x) z :
ddx ( e^x^22 z ) = -x e^x^22

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a x :
e^x^22 z = integral -x e^x^22 dx + C
Fazendo a substituição u = x^22 , du = x dx :
integral -x e^x^22 dx = -integral e^u du = -e^u + C = -e^x^22 + C
Então:
e^x^22 z = -e^x^22 + C

Passo 9

Dividindo ambos os lados por e^x^22 :
z = -1 + C e^-x^22
Lembrando que z = 1y :
1y = -1 + C e^-x^22

Passo 10

Resolvendo para y :
y = 1-1 + C e^-x^22
Agora, usamos a condição inicial y(0) = 14 para encontrar C :
14 = 1-1 + C e^0 Rightarrow 14 = 1-1 + C
Resolvendo para C :
-1 + C = 4 Rightarrow C = 5

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = 1-1 + 5 e^-x^22

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