(x e^x y cos (2 x)-2 e^x y sin (2 x)+2 x) d x+(x e^x y cos (2 x)-3) d y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
(x e^x y cos (2 x)-2 e^x y sin (2 x)+2 x) , dx + (x e^x y cos (2 x)-3) , dy = 0
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar usar derivadas parciais e conceitos de exatidão em equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam dx e dy . Chamamos de:
M(x, y) = x e^x y cos (2 x) - 2 e^x y sin (2 x) + 2 x
N(x, y) = x e^x y cos (2 x) - 3
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se a derivada parcial de M em relação a y é igual à derivada parcial de N em relação a x .

Passo 3

Vamos calcular partial Mpartial y :
partial Mpartial y = x^2 e^x y cos(2x) - 2 x e^x y sin(2x)
Agora, calculamos partial Npartial x :
partial Npartial x = e^x y cos(2x) + x y e^x y cos(2x) - 2x e^x y sin(2x)
Observando as duas derivadas parciais, percebemos que:
partial Mpartial y neq partial Npartial x
Então, a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante mu(x) ou mu(y) que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante seja exata.
Assumiremos que o fator integrante depende somente de x , ou seja, mu = mu(x) .
Para encontrar mu(x) , usamos a condição:
partial (mu M)partial y - partial (mu N)partial xmu N = função de x somente çã
Após os cálculos, descobrimos que:
mu(x) = e^-x y

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original por mu(x) = e^-x y :
(x cos (2 x) - 2 sin (2 x) + 2 x e^-x y) dx + (x cos (2 x) e^-x y - 3 e^-x y) dy = 0
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Com a equação exata, existe uma função Phi(x, y) tal que:
partial Phipartial x = mu M
partial Phipartial y = mu N
Vamos integrar mu M em relação a x para encontrar Phi(x, y) :
Phi(x, y) = integral (x cos (2 x) - 2 sin (2 x) + 2 x e^-x y) dx + h(y)
Após integrar e simplificar, encontramos Phi(x, y) .

Resposta

A solução geral da equação diferencial é dada por:
Phi(x, y) = e^-x y ( x sin(2x)2 + cos(2x)2 ) - 3 y e^-x y = C
Onde C é uma constante arbitrária.

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