Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial:
O conteúdo envolvido aqui é Equações Diferenciais Exatas. Para resolver esse tipo de equação, precisamos verificar se ela é exata e, se não for, encontrar um fator integrante que a torne exata. Vamos precisar usar derivadas parciais e conceitos de exatidão em equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que multiplicam
e
. Chamamos de:
Agora, para verificar se a equação é exata, a gente precisa checar se a derivada parcial de
em relação a
é igual à derivada parcial de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Observando as duas derivadas parciais, percebemos que:
Então, a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante
ou
que, quando multiplicarmos a equação original por ele, a equação resultante seja exata.
Assumiremos que o fator integrante depende somente de
, ou seja,
.
Para encontrar
, usamos a condição:
Após os cálculos, descobrimos que:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original por
:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Com a equação exata, existe uma função
tal que:
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Após integrar e simplificar, encontramos
.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é dada por:
Onde
é uma constante arbitrária.