Os pontos A=(-2,3) e B=(4,5), dados em relação ao sistema de coordenadas cartesianas S=(0, x, y), são as extr de um dos diâmetros de uma circunferência. A equação geral dessa circunferência é dada por:
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x^2+y^2-2 x-8 y+7=0
x^2+y^2-4 x-10 y+8=0
x^2+y^2-4 x-2 y+10=0
x^2+y^2-3 x-8 y+10=0
x^2+y^2-2 x-6 y+12=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem dois pontos, A = (-2, 3) e B = (4, 5) , que são as pontas de um diâmetro de uma circunferência no plano cartesiano. Nosso objetivo é achar a equação geral dessa circunferência. Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como o cálculo do ponto médio e a fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o centro da circunferência. Como A e B são as extremidades de um diâmetro, o centro será o ponto médio entre eles. A fórmula para o ponto médio entre dois pontos (x1, y1) e (x2, y2) é:
( x1 + x22, y1 + y22 )
Aplicando isso aos pontos A e B :
( -2 + 42, 3 + 52 ) = ( 22, 82 ) = (1, 4)
Então, o centro da circunferência é C = (1, 4) .

Passo 3

Agora, vamos calcular o raio da circunferência. O raio é metade da distância entre A e B . Para encontrar essa distância, usamos a fórmula da distância entre dois pontos:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2
Substituindo os valores de A e B :
d = raiz(4 - (-2))^2 + (5 - 3)^2 = raiz(6)^2 + (2)^2 = raiz36 + 4 = raiz40
Então, o raio r é:
r = d2 = raiz402 = 2raiz102 = raiz10

Passo 4

Com o centro C = (1, 4) e o raio r = raiz10 , podemos escrever a equação da circunferência na forma padrão:
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
Onde (h, k) é o centro e r é o raio. Substituindo os valores:
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = (raiz10)^2
(x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 10

Passo 5

Vamos expandir a equação para a forma geral, que é:
x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0
Expandindo (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = 10 :
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 8y + 16 = 10
x^2 + y^2 - 2x - 8y + 17 = 10
x^2 + y^2 - 2x - 8y + 7 = 0

Resposta

A equação geral da circunferência é x^2+y^2-2 x-8 y+7=0 .

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