Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Bernoulli que a gente tem aqui:
Esse tipo de equação é chamado de Bernoulli porque tem a forma geral:
Aqui,
,
e
(já que
). Para resolver, a gente precisa transformar essa equação numa equação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o valor de
na equação. Como vimos,
. Agora, para transformar a equação de Bernoulli numa linear, fazemos uma substituição. Vamos definir:
Isso significa que
. Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
usando a regra da cadeia:
Passo 3
Substituindo
e
na equação original:
Vamos simplificar essa expressão dividindo todos os termos por
(assumindo que
):
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
Onde
e
.
Passo 4
Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pela
:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados da equação:
O lado esquerdo fica:
Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja
, então
, ou seja,
. A integral fica:
Então, temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Lembrando que
, vamos substituir de volta:
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para
:
Resposta
A solução geral da EDO é: