Encontre a solução da EDO de Bernoulli.
y^prime+x y=6 x raizy

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de Bernoulli que a gente tem aqui:
y' + x y = 6x raizy
Esse tipo de equação é chamado de Bernoulli porque tem a forma geral:
y' + P(x) y = Q(x) y^n
Aqui, P(x) = x, Q(x) = 6x e n = 12 (já que raizy = y^1/2). Para resolver, a gente precisa transformar essa equação numa equação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o valor de n na equação. Como vimos, n = 12. Agora, para transformar a equação de Bernoulli numa linear, fazemos uma substituição. Vamos definir:
z = y^1 - n = y^1 - 12 = y^12 = raizy
Isso significa que y = z^2. Agora, vamos calcular a derivada de y em relação a x usando a regra da cadeia:
y' = 2z z'

Passo 3

Substituindo y e y' na equação original:
2z z' + x z^2 = 6x z
Vamos simplificar essa expressão dividindo todos os termos por 2z (assumindo que z neq 0):
z' + x2 z = 3x
Agora, temos uma equação linear na forma padrão:
z' + P(x) z = Q(x)
Onde P(x) = x2 e Q(x) = 3x.

Passo 4

Para resolver essa equação linear, usamos o fator integrante. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx = e^integral x2 dx = e^x^24
Multiplicamos toda a equação pela mu(x):
e^x^24 z' + x2 e^x^24 z = 3x e^x^24
Isso simplifica para:
ddx ( e^x^24 z ) = 3x e^x^24

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados da equação:
integral ddx ( e^x^24 z ) dx = integral 3x e^x^24 dx
O lado esquerdo fica:
e^x^24 z = integral 3x e^x^24 dx + C
Para integrar o lado direito, fazemos uma substituição simples. Seja u = x^24, então du = x2 dx, ou seja, 2 du = x dx. A integral fica:
integral 3x e^x^24 dx = 6 integral e^u du = 6 e^u + C = 6 e^x^24 + C
Então, temos:
e^x^24 z = 6 e^x^24 + C
Dividindo ambos os lados por e^x^24:
z = 6 + C e^-x^24

Passo 6

Lembrando que z = raizy, vamos substituir de volta:
raizy = 6 + C e^-x^24
Elevando ambos os lados ao quadrado para resolver para y:
y = (6 + C e^-x^24)^2

Resposta

A solução geral da EDO é:
y = (6 + C, e^-x^24,)^2

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