Calcule o limite da sequência:
a_{n}=\frac{n^{2}+1}{n^{2}+2 n}

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência \{a_n\} dada por
a_n = \frac{n^{2} + 1}{n^{2} + 2\,n}.
O conteúdo envolve limites de sequências racionais e vamos precisar reconhecer termos dominantes e fatorar o maior grau de n.

Passo 2

Observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 2 em n. Para facilitar, fatoramos n^2:
a_n = \frac{n^2 + 1}{n^2 + 2n} = \frac{n^2\bigl(1 + \tfrac{1}{n^2}\bigr)}{n^2\bigl(1 + \tfrac{2}{n}\bigr)} = \frac{1 + \tfrac{1}{n^2}}{1 + \tfrac{2}{n}}.

Passo 3

Ao fazer n \to \infty, temos \tfrac{1}{n^2}\to 0 e \tfrac{2}{n}\to 0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_n = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1.

Resposta

\lim_{n\to\infty}a_n = 1.

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