- Estime 2n-1
com precisão de cinco casas decimais. Quantos termos da série
você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01 ?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Estimar a soma
com precisão de cinco casas decimais.
2) Determinar quantos termos da série
2) Determinar quantos termos da série
é preciso somar para que o erro de truncamento seja menor que
.
Em ambos os casos usaremos o teste da integral para estimar o resto da série.
Em ambos os casos usaremos o teste da integral para estimar o resto da série.
Passo 2
Para a série
, note que a função
é contínua, positiva e estritamente decrescente para
. Pelo teste da integral, o resto
satisfaz
Para facilitar a integral, usamos a desigualdade
logo
Para garantir cinco casas decimais na soma de
, queremos
. Então exigimos
Passo 3
Como
basta, calculamos a soma parcial até
:
O resto
, muito abaixo de
.
Portanto
Portanto
Arredondando para cinco casas decimais,
Passo 4
Para a série
tomamos
O resto ao somar até
satisfaz
Mas
Queremos
, isto é
Ou seja, seria preciso somar algo da ordem de
termos para obter erro menor que
.
Resposta
A estimativa da primeira série é
Para a segunda série são necessários aproximadamente
termos para que o erro fique abaixo de
.