1. Estime 2n-1 (2 n+1)^{-6} com precisão de cinco casas decimais. Quantos termos da série \sum_{n=2}^{\infty} 1 /\left[n(\ln n)^{2}\right] você precisaria somar para encontrar sua soma com precisão de 0,01 ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Estimar a soma
S = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2n-1}{(2n+1)^{6}}
com precisão de cinco casas decimais.
2) Determinar quantos termos da série
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n(\ln n)^{2}}
é preciso somar para que o erro de truncamento seja menor que 0,01.
Em ambos os casos usaremos o teste da integral para estimar o resto da série.

Passo 2

Para a série S, note que a função
f(x)=\frac{2x-1}{(2x+1)^{6}}
é contínua, positiva e estritamente decrescente para x\ge1. Pelo teste da integral, o resto
R_{N}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\frac{2n-1}{(2n+1)^{6}}
satisfaz
R_{N}\le \int_{N}^{\infty}\frac{2x-1}{(2x+1)^{6}}\,dx.
Para facilitar a integral, usamos a desigualdade
\frac{2x-1}{(2x+1)^{6}}\le \frac{2x}{(2x)^{6}}=\frac{1}{32\,x^{5}},
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R_{N}\le \int_{N}^{\infty}\frac{1}{32\,x^{5}}\,dx =\left[-\frac{1}{128\,x^{4}}\right]_{N}^{\infty} =\frac{1}{128\,N^{4}}.
Para garantir cinco casas decimais na soma de S, queremos R_{N}<5\times10^{-6}. Então exigimos
\frac{1}{128\,N^{4}}<5\times10^{-6} \quad\Longrightarrow\quad N^{4}>\frac{1}{128\cdot5\times10^{-6}}\approx1562{,}5 \quad\Longrightarrow\quad N\ge7.

Passo 3

Como N=7 basta, calculamos a soma parcial até n=6:
S_{6}=\sum_{n=1}^{6}\frac{2n-1}{(2n+1)^{6}} \approx0{,}001371742 +0{,}000192000 +0{,}000042515 +0{,}000013172 +0{,}000005078 +0{,}000002278 =0{,}001626785.
O resto R_{6}<1/(128\cdot7^{4})\approx3{,}3\times10^{-6}, muito abaixo de 5\times10^{-6}.
Portanto
S\approx S_{6}=0{,}0016268\quad(\pm3{,}3\times10^{-6}).
Arredondando para cinco casas decimais,
S=0{,}00163.

Passo 4

Para a série \sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^{2}] tomamos
g(x)=\frac{1}{x(\ln x)^{2}},\quad x\ge2.
O resto ao somar até N satisfaz
R_{N}\le \int_{N}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx.
Mas
\int\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx =-\frac{1}{\ln x} \quad\Longrightarrow\quad \int_{N}^{\infty}\frac{1}{x(\ln x)^{2}}\,dx =\frac{1}{\ln N}.
Queremos 1/(\ln N)<0{,}01, isto é
\ln N>100 \quad\Longrightarrow\quad N>e^{100}\approx2{,}7\times10^{43}.
Ou seja, seria preciso somar algo da ordem de 10^{43} termos para obter erro menor que 0,01.

Resposta

A estimativa da primeira série é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n-1}{(2n+1)^{6}} \approx0{,}00163.
Para a segunda série são necessários aproximadamente
N\approx e^{100}\approx2{,}7\times10^{43}
termos para que o erro fique abaixo de 0,01.

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