Calcule o limite da sequência:
a_{n}=\sqrt{n^{2}+n}-n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_{n} = \sqrt{n^{2}+n} - n
O conteúdo aqui é cálculo de limites de sequências envolvendo radicais. A principal ideia é usar racionalização para evitar a forma “∞−∞” e obter uma expressão cujos termos sejam fáceis de analisar quando n\to\infty.

Passo 2

Para eliminar a forma indeterminada, multiplicamos e dividimos por \sqrt{n^{2}+n}+n (o conjugado):
a_{n} = \bigl(\sqrt{n^{2}+n}-n\bigr)\cdot\frac{\sqrt{n^{2}+n}+n}{\sqrt{n^{2}+n}+n} = \frac{(\sqrt{n^{2}+n})^{2} - n^{2}}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.

Passo 3

No numerador aparece
(\sqrt{n^{2}+n})^{2} - n^{2} = n^{2}+n - n^{2} = n,
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a_{n} = \frac{n}{\sqrt{n^{2}+n}+n}.

Passo 4

Agora fatoramos n dentro da raiz e no denominador:
\sqrt{n^{2}+n} = n\sqrt{1+\frac1n},
então
a_{n} = \frac{n}{\,n\sqrt{1+\tfrac1n} + n} = \frac{n}{\,n\bigl(\sqrt{1+\tfrac1n}+1\bigr)} = \frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1}.
Quando n\to\infty, temos \sqrt{1+\tfrac1n}\to1.

Passo 5

Substituindo o comportamento assintótico no denominador:
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\tfrac1n}+1} = \frac{1}{1+1} = \tfrac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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