Calcule o limite da sequência:
a_{n}=\frac{2 n+1}{3 n+4}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}
onde \displaystyle a_{n}=\frac{2n+1}{3n+4}.
O conteúdo aqui é limite de sequência racional de mesmo grau, e vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior termo em n.

Passo 2

Para calcular \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{3n+4}
observamos que tanto o numerador quanto o denominador são polinômios de grau 1. A estratégia padrão é dividir cada termo por n, que é o maior grau que aparece.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por n, temos
a_{n} =\frac{2n+1}{3n+4} =\frac{n\bigl(2+\tfrac{1}{n}\bigr)}{n\bigl(3+\tfrac{4}{n}\bigr)} =\frac{2+\tfrac{1}{n}}{3+\tfrac{4}{n}}.

Passo 4

Agora analisamos o comportamento quando n\to\infty: \tfrac{1}{n}\to0 e \tfrac{4}{n}\to0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}\frac{2+\tfrac{1}{n}}{3+\tfrac{4}{n}} =\frac{2+0}{3+0} =\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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