Calcule o limite da sequência:
a_{n}=\frac{n^{3}+2 n}{4 n^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite da sequência
a_{n} = \frac{n^{3} + 2n}{4\,n^{3} - 1}
quando n \to \infty. O conteúdo aqui é limite de sequência racional dada por polinômios de mesmo grau, e para resolver vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pela maior potência de n, que é n^{3}.

Passo 2

Dividimos cada termo de numerador e denominador por n^{3}:
a_{n} = \frac{n^{3}/n^{3} + 2n / n^{3}}{4\,n^{3}/n^{3} - 1 / n^{3}} = \frac{1 + 2\,n^{-2}}{4 - n^{-3}}.

Passo 3

Ao fazermos n \to \infty, temos n^{-2} \to 0 e n^{-3} \to 0. Logo,
\lim_{n\to\infty}a_{n} = \frac{1 + 2\cdot 0}{4 - 0} = \frac{1}{4}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{4}

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