Calcule o limite da sequência:
a_{n}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite da sequência
a_{n}=\Bigl(\frac{n+1}{n}\Bigr)^{n}
Isso cai no conteúdo de limites de sequências envolvendo potências, onde é comum usar logaritmo e a definição do número e.

Passo 2

Reescrevemos a sequência de forma a aplicar logaritmo. Definimos
b_{n}=\ln\bigl(a_{n}\bigr)
Então,
b_{n} =\ln\Bigl(\bigl(1+\tfrac{1}{n}\bigr)^{n}\Bigr) =n\,\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr).

Passo 3

Calculamos o limite de b_{n}:
\lim_{n\to\infty}b_{n} =\lim_{n\to\infty}n\,\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr).
Fazendo a troca x=\tfrac{1}{n} (logo x\to0 quando n\to\infty), temos
n\,\ln\Bigl(1+\tfrac{1}{n}\Bigr) =\frac{\ln(1+x)}{x}.
E é um fato clássico que
\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1.
Portanto
\lim_{n\to\infty}b_{n}=1.

Passo 4

Como a função exponencial é contínua, podemos voltar de b_{n} para a_{n}:
\lim_{n\to\infty}a_{n} =\lim_{n\to\infty}e^{b_{n}} =e^{\lim_{n\to\infty}b_{n}} =e^{1} =e.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty}a_{n}=e

Exercícios relacionados