Determine se a sequência definida por recorrência converge, e se sim, encontre o limite:
Passo 1
O enunciado define a sequência por recorrência
e pede para ver se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo aqui é recorrência linear de primeira ordem com termo constante, e vamos usar o método do ponto fixo e a transformação para resolver explicitamente.
Passo 2
Procuramos o ponto fixo
satisfazendo
Multiplicando por 2, obtemos
Passo 3
Definimos a diferença em relação ao ponto fixo:
Substituindo na recorrência,
Passo 4
Como
, a recorrência
tem solução explícita
Logo
Passo 5
Como
quando
, segue que
Portanto a sequência converge e o limite é 3.
Resposta
A sequência converge e