Determine se a sequência definida por recorrência converge, e se sim, encontre o limite:
a_{1}=1, \quad a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{2} .

Passo 1

O enunciado define a sequência por recorrência
a_{1}=1,\quad a_{n+1}=\frac{a_{n}+3}{2},
e pede para ver se ela converge e, em caso afirmativo, achar o limite. O conteúdo aqui é recorrência linear de primeira ordem com termo constante, e vamos usar o método do ponto fixo e a transformação para resolver explicitamente.

Passo 2

Procuramos o ponto fixo L satisfazendo
L = \frac{L + 3}{2}.
Multiplicando por 2, obtemos
2L = L + 3\quad\Longrightarrow\quad L = 3.

Passo 3

Definimos a diferença em relação ao ponto fixo:
b_{n} = a_{n} - 3.
Substituindo na recorrência,
a_{n+1} - 3 = \frac{a_{n} + 3}{2} - 3 \quad\Longrightarrow\quad b_{n+1} = \frac{a_{n} - 3}{2} = \frac{b_{n}}{2}.

Passo 4

Como b_{1} = a_{1}-3 = 1 - 3 = -2, a recorrência b_{n+1} = \tfrac12\,b_{n} tem solução explícita
b_{n} = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1} b_{1} = -2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.
Logo
a_{n} = b_{n} + 3 = 3 - 2\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{\,n-1}.

Passo 5

Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{n-1}\to 0 quando n\to\infty, segue que
a_{n} \to 3.
Portanto a sequência converge e o limite é 3.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty}a_{n} = 3.

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