\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{0.085}}

Passo 1

O enunciado apresenta a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{0.085}}
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da série p (ou p-série), que analisa séries da forma \sum n^{-p}.

Passo 2

O teste da p-série diz que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Se p\le1, a série diverge.

Passo 3

Na série dada, podemos extrair o fator constante 2 e escrever
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n^{0.085}} = 2 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0.085}}.
Aqui o expoente é p = 0.085.

Passo 4

Como p = 0.085 \le 1, pela p-série temos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{0.085}}
diverge. Multiplicar por 2 (constante) não muda esse comportamento.

Resposta

A série diverge.

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