Calcule o limite das sequências seguintes.
0.2,0.23,0.233,0.2333, ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite da sequência 0.2, 0.23, 0.233, 0.2333, ldots. Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e vamos usar conceitos de limites para resolver isso. O que precisamos entender é como a sequência se comporta conforme adicionamos mais dígitos.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a sequência: cada termo adiciona mais um ‘3’ ao final. Então, temos:
  • a1 = 0.2
  • a2 = 0.23
  • a3 = 0.233
  • a4 = 0.2333
  • E assim por diante.
Isso significa que cada termo está se aproximando de um certo número à medida que adicionamos mais '3’s.

Passo 3

Para encontrar o limite dessa sequência, precisamos identificar para onde ela está convergindo. Vamos supor que o limite seja L. Então, à medida que n aumenta, o termo geral an se aproxima de L.

Passo 4

Podemos representar cada termo da sequência como uma soma infinita de frações decimais:
L = 0.2 + 0.03 + 0.003 + 0.0003 + ldots
Isso é uma série geométrica onde a razão entre os termos consecutivos é 0.1.

Passo 5

A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a11 - r
Onde a1 é o primeiro termo e r é a razão. No nosso caso, a1 = 0.2 e r = 0.1.

Passo 6

Aplicando a fórmula:
L = 0.21 - 0.1 = 0.20.9

Passo 7

Calculando a fração:
L = 29 approx 0.2222ldots

Resposta

O limite da sequência é 29 ou aproximadamente 0.2222.

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