Calcule o limite das sequências seguintes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite da sequência
. Aqui, estamos lidando com sequências numéricas e vamos usar conceitos de limites para resolver isso. O que precisamos entender é como a sequência se comporta conforme adicionamos mais dígitos.
Passo 2
Primeiro, vamos observar a sequência: cada termo adiciona mais um ‘3’ ao final. Então, temos:
-
-
-
-
- E assim por diante.
Isso significa que cada termo está se aproximando de um certo número à medida que adicionamos mais '3’s.
Passo 3
Para encontrar o limite dessa sequência, precisamos identificar para onde ela está convergindo. Vamos supor que o limite seja
. Então, à medida que
aumenta, o termo geral
se aproxima de
.
Passo 4
Podemos representar cada termo da sequência como uma soma infinita de frações decimais:
Isso é uma série geométrica onde a razão entre os termos consecutivos é
.
Passo 5
A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
Onde
é o primeiro termo e
é a razão. No nosso caso,
e
.
Passo 6
Aplicando a fórmula:
Passo 7
Calculando a fração:
Resposta
O limite da sequência é
ou aproximadamente 0.2222.