Calcule o limite das sequências seguintes.
an=1n^2+2n^2+3n^2+cdots+n-1n^2

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
an = 1n^2 + 2n^2 + 3n^2 + cdots + n-1n^2
O conteúdo aqui é soma de progressão aritmética aplicada a sequências e cálculo de limite.

Passo 2

Reescrevemos an como um somatório e usamos a fórmula da soma dos primeiros n-1 inteiros:
an = sumk=1^n-1 kn^2 = 1n^2 sumk=1^n-1 k e sumk=1^n-1 k = (n-1),n2

Passo 3

Substituindo a soma na expressão de an,
an = 1n^2 cdot n(n-1)2 = n(n-1)2,n^2 = n-12,n

Passo 4

Para encontrar o limite, basta observar que
n-12,n = 12,n-1n = 12l(1 - 1nr),
e como limntoinfty1n=0, temos
limntoinftyan = 12,(1-0) = 12

Resposta

12

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